Théorème de McCoy

En algèbre linéaire, le théorème de McCoy[1] donne une condition nécessaire et suffisante pour que deux matrices carrés complexes soient cotrigonalisables[2].

Théorème — Soient $A,B\in {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {C} )$ . $A$ et $B$ sont cotrigonalisables si, et seulement si, pour tout polynôme en deux variables non commutatives $P$ , la matrice $P(A,B)(AB-BA)$ est nilpotente.

Le corps des nombres complexes peut être remplacé par n'importe quel corps contenant toutes les valeurs propres des deux matrices, et le théorème se généralise à un nombre quelconque (fini) de matrices[3].

Notes et références

(en) Neal H. McCoy, « On quasi-commutative matrices », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 36,‎ 1934, p. 327-340 (lire en ligne)
Serge Francinou, Hervé Gianella et Serge Nicolas, Exercices de mathématiques, oraux x-ens : algèbre 2, Paris, Cassini, 2009, 268 p. (ISBN 978-2-84225-142-0), p. 119
Bettye Anne Case et Anne M. Leggett, Complexities: Women in Mathematics, Princeton University Press, 2005, 412 p. (ISBN 978-0-691-11462-0, lire en ligne), p. 303

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[1] (en) Neal H. McCoy, « On quasi-commutative matrices », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 36,‎ 1934, p. 327-340 (lire en ligne)

[2] Serge Francinou, Hervé Gianella et Serge Nicolas, Exercices de mathématiques, oraux x-ens : algèbre 2, Paris, Cassini, 2009, 268 p. (ISBN 978-2-84225-142-0), p. 119

[3] Bettye Anne Case et Anne M. Leggett, Complexities: Women in Mathematics, Princeton University Press, 2005, 412 p. (ISBN 978-0-691-11462-0, lire en ligne), p. 303