Théorème de Morera

En mathématiques, plus précisément en analyse complexe, le théorème de Morera (du nom du mathématicien italien Giacinto Morera) est « une réciproque utile du théorème intégral de Cauchy[1]^,[2] » ou plus précisément de son ingrédient principal, le lemme de Goursat.

Il énonce qu'une fonction continue sur un ouvert est holomorphe dès que son intégrale le long de tout triangle[3] inclus dans cet ouvert est nulle :

Soit $U$ un ouvert du plan complexe et soit $f$ une fonction à valeurs complexes continue sur $U$ . Si, pour tout triangle $T$ dont la frontière $\partial T$ est incluse dans $U$ , on a
$\int _{\partial T}f(z)~\mathrm {d} z=0$
alors $f$ est holomorphe sur $U$ .

Notes et références

Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions], p. 202.
Srishti D. Chatterji, Cours d'analyse : vol. 2, Analyse complexe, PPUR, 1997, 536 p. (ISBN 978-2-88074-346-8, lire en ligne), p. 154.
Dany-Jack Mercier, Lectures sur les mathématiques, l'enseignement et les concours, vol. 2, Publibook, 2010 (ISBN 978-2-74835532-1), p. 95, énonce, sous ce titre, une variante avec des rectangles.

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[Rudin-1] Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions], p. 202.

[2] Srishti D. Chatterji, Cours d'analyse : vol. 2, Analyse complexe, PPUR, 1997, 536 p. (ISBN 978-2-88074-346-8, lire en ligne), p. 154.

[3] Dany-Jack Mercier, Lectures sur les mathématiques, l'enseignement et les concours, vol. 2, Publibook, 2010 (ISBN 978-2-74835532-1), p. 95, énonce, sous ce titre, une variante avec des rectangles.