Théorème de Neuberg

En mathématiques, le théorème de Neuberg est un résultat de géométrie du triangle.

Formulation de l'énoncé
Illustration du théorème de Neuberg

Soit un triangle ABC.

Soit OA le centre du carré extérieur ayant comme côté BC. On construit de façon similaire les points OB et OC.

On construit ensuite MA, le centre du carré intérieur ayant comme côté OBOC. On construit ainsi MB et MC. Alors les points MA, MB et MC sont les milieux des côtés du triangle ABC.

Démonstration

En effet, si l'on appelle A' le symétrique de A par rapport à OB et B' le symétrique de B par rapport à OA, la rotation de centre C et d'angle π/2 envoie A et B' en A' et B. Les segments [AB'] et [B'A] sont donc de même longueur et perpendiculaires. Or la droite (MCOB) est la droite des milieux dans le triangle ABA' et il en est de même de la droite (MCOA) dans le triangle BAB'. On a donc bien les segment [MCOB] et [MCOA] également de même longueur et perpendiculaires. MC est bien centre d'un carré s'appuyant sur [OAOC]. Et il en est de même des autres milieux.

Voir aussi
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