Théorème de Poynting

Le théorème énonce que pour tout volume :

${\displaystyle -\iiint {\frac {\partial W_{em}}{\partial t}}\,\mathrm {d} \tau =\iiint \mathrm {div} {\vec {\Pi }}\cdot {\,\mathrm {d} \tau }+\iiint {\vec {\jmath }}\cdot {\vec {E}}{\,\mathrm {d} \tau }}$

soit, sous forme locale, pour un volume ${\displaystyle d\tau }$

${\displaystyle -{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {\varepsilon _{0}E^{2}}{2}}+{\frac {B^{2}}{2\mu _{0}}}\right)=\mathrm {div} \left({\frac {{\vec {E}}\wedge {\vec {B}}}{\mu _{0}}}\right)+{\vec {j}}\cdot {\vec {E}}}$

soit dans le cas général

${\displaystyle -{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {{\vec {E}}\cdot {\vec {D}}}{2}}+{\frac {{\vec {B}}\cdot {\vec {H}}}{2}}\right)=\mathrm {div} \left({\vec {E}}\wedge {\vec {H}}\right)+{\vec {j}}\cdot {\vec {E}}}$

avec:

• ${\displaystyle {\vec {\Pi }}}$, vecteur de Poynting
• ${\displaystyle {\vec {E}}}$, champ électrique
• ${\displaystyle {\vec {D}}}$, induction électrique (ou déplacement électrique)
• ${\displaystyle {\vec {B}}}$, champ magnétique
• ${\displaystyle {\vec {H}}}$, excitation magnétique
• ${\displaystyle {\vec {j}}}$, densité de courant
• ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$, permittivité du vide
• ${\displaystyle \mu _{0}}$, perméabilité du vide

On part de la forme différentielle, dans le cas où les relations ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {D}}=\varepsilon _{0}{\vec {E}}}$ et ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {H}}}$ sont vérifiées. Alors

${\displaystyle \mathrm {div} \;{\vec {\Pi }}=\mathrm {div} \;{\frac {{\vec {E}}\wedge {\vec {B}}}{\mu _{0}}}=-{\frac {1}{\mu _{0}}}{\vec {E}}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\;{\vec {B}}+{\frac {1}{\mu _{0}}}{\vec {B}}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\;{\vec {E}}}$

en utilisant la formule d'analyse vectorielle ${\displaystyle \scriptstyle \mathrm {div} \left({\vec {B}}\wedge {\vec {C}}\right)={\vec {C}}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {B}})-{\vec {B}}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {C}})}$. Sachant que par ailleurs on a : ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {\jmath }}+\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}}$ (équation de Maxwell-Ampère), et ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}}$ (équation de Maxwell-Faraday), cette quantité peut se réécrire sous la forme :

${\displaystyle \mathrm {div} \;{\vec {\Pi }}=-{\frac {1}{\mu _{0}}}{\vec {E}}\cdot \left(\mu _{0}{\vec {j}}+\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\right)+{\frac {1}{\mu _{0}}}{\vec {B}}\cdot \left(-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\right)}$

Soit après simplification :

${\displaystyle \mathrm {div} \;{\vec {\Pi }}=-\;{\vec {j}}\cdot {\vec {E}}-\varepsilon _{0}{\vec {E}}\cdot {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}-{\frac {1}{\mu _{0}}}{\vec {B}}\cdot {\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}}$

Ou encore, en notant ${\displaystyle \scriptstyle u={\frac {\varepsilon _{0}{\vec {E}}^{2}}{2}}+{\frac {{\vec {B}}^{2}}{2\mu _{0}}}}$ la densité volumique d'énergie électromagnétique :

${\displaystyle \mathrm {div} \;{\vec {\Pi }}=-\;{\vec {j}}\cdot {\vec {E}}-{\frac {\partial u}{\partial t}}}$

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