Théorème de Wilson

Théorème de Wilson — Un entier p strictement plus grand que 1 est un nombre premier si et seulement s'il divise (p – 1)! + 1, c'est-à-dire si et seulement si[1] :

${\displaystyle (p-1)!+1\equiv 0{\pmod {p}}.}$

Ici, le symbole « ! » désigne la fonction factorielle et le symbole « . ≡ . (mod .) » désigne la congruence sur les entiers.

• Si p est égal à 2, alors (p – 1)! + 1 est égal à 2, un multiple de 2.
• Si p est égal à 3, alors (p – 1)! + 1 est égal à 3, un multiple de 3.
• Si p est égal à 4, alors (p – 1)! + 1 est égal à 7 qui n'est pas multiple de 4.
• Si p est égal à 5, alors (p – 1)! + 1 est égal à 25, un multiple de 5.
• Si p est égal à 6, alors (p – 1)! + 1 est égal à 121 qui n'est pas multiple de 6.
• Si p est égal à 17, alors (p – 1)! + 1 est égal à 20 922 789 888 001, un multiple de 17 car 17 × 1 230 752 346 353 = 20 922 789 888 001.

• Lagrange[6] utilise d'abord le polynôme${\displaystyle P(x)=(x+1)(x+2)\cdots (x+p-1).}$Il le développe et détermine ses coefficients de proche en proche en utilisant la propriété${\displaystyle (x+1)P(x+1)=(x+p)P(x).}$Il démontre alors, de proche en proche, que, lorsque p est premier, tous les coefficients — à l'exception du premier qui vaut 1 et du dernier qui vaut (p – 1)! — sont multiples de p.
  Puis, utilisant toujours la même égalité, il observe que le dernier coefficient multiplié par p – 1 est égal à la somme de tous les autres et en déduit que (p – 1)! + 1 est multiple de p.
• Après avoir remarqué que le petit théorème de Fermat se déduit aussi de ces calculs, il montre qu'inversement, ce théorème fournit « une autre démonstration de celui de M. Wilson beaucoup plus simple », en exprimant de deux façons la (p – 1)-ième différence finie de la suite 1^p–1, 2^p–1, … , p^p–1[13], puis en appliquant le théorème de Fermat et la formule du binôme :${\displaystyle (p-1)!=\sum _{i=0}^{p-1}(-1)^{i}{\binom {p-1}{i}}(p-i)^{p-1}{\underset {\pmod {p}}{\equiv }}\sum _{i=1}^{p-1}(-1)^{i}{\binom {p-1}{i}}=(1-1)^{p-1}-1=-1.}$

Remarque

Lagrange[6] remarque de plus que pour tout entier n impair, ${\displaystyle (n-1)!\equiv (-1)^{\frac {n-1}{2}}\left(1.2.3\dots {\frac {n-1}{2}}\right)^{2}{\pmod {n}}}$, ce qui, joint au théorème de Wilson, prouve que pour tout nombre premier impair p,${\displaystyle {\text{si }}{\frac {p-1}{2}}{\text{ est pair alors}}-1\equiv \left(1.2.3\dots {\frac {p-1}{2}}\right)^{2}{\pmod {p}}.}$Ainsi, –1 est un carré modulo p si (et seulement si) p ≡ 1 mod 4. C'est la première loi complémentaire de la loi de réciprocité quadratique. Elle joue un rôle central dans le théorème des deux carrés.

Euler[7] utilise le fait que le groupe multiplicatif F_p* est cyclique, c'est-à-dire engendré par une classe a particulière, ce qui revient à dire que les p – 1 premières puissances de a (quand l'exposant varie de 0 à p – 2) forment les éléments de ce groupe. En faisant leur produit on a donc :

${\displaystyle {\overline {(p-1)!}}=a^{0}a^{1}\ldots a^{p-2}=a^{n},~}$

où l'exposant n se calcule comme somme d'une suite arithmétique :

${\displaystyle n=\sum _{k=0}^{p-2}k={(p-1)(p-2) \over 2}.~}$

Le nombre premier p peut être supposé impair (car pour p = 2 le théorème se vérifie directement). Ainsi, p – 1 ne divise pas n, tandis qu'il divise 2n. Autrement dit, aⁿ est d'ordre 2. Or dans le corps F_p, les racines du polynôme X² – 1 = (X – 1)(X + 1) sont 1 et –1, donc aⁿ = –1.

Gauss[14] rédige cette démonstration dans un contexte plus général, montrant ainsi que modulo un nombre p non nécessairement premier, le produit des puissances d'un inversible a vaut 1 ou –1, selon la parité de l'ordre multiplicatif de a.

Le principe[8], emprunté à Euler[15], consiste à éliminer, dans le produit des p – 1 éléments de F_p*, chaque produit d'un élément par son inverse, à l'exception des éléments qui sont leur propre inverse : 1 et –1. Lorsqu'on élimine, dans le produit, les paires d'inverses mutuels dont le produit vaut 1, il reste donc uniquement ces deux classes particulières, d'où

${\displaystyle {\overline {(p-1)!}}={\overline {-1}}\ {\overline {1}}=-{\overline {1}}.}$

Le mathématicien tchèque Karel Petr a donné en 1905 une démonstration géométrique du théorème[16]. Il considère tous les polygones dont les sommets sont les p sommets d'un polygone convexe régulier donné, p un nombre premier. Il y en a (p-1)! Parmi eux, p-1 sont réguliers. Petr montre que les autres sont congruents p à p, donc que leur nombre est un multiple entier de p, qu'il note Np. Donc (p-1)! est égal à p-1+ Np, autrement dit (p-1)! est égal à -1 à un multiple de p près, ce qui est le théorème de Wilson.

• Nombre premier de Wilson
• Quotient de Wilson (en)
• Utilisation du théorème de Wilson dans une formule pour les nombres premiers (exacte mais sans intérêt pratique)

Pierre Samuel, Théorie algébrique des nombres [détail de l’édition]

Gilles Auriol, Sur les sommes de carrés. On y trouve notamment deux démonstrations du théorème de Wilson : celle de Gauss ( « version élémentaire, accessible à un élève de terminale S » ) et une faisant intervenir un polynôme analogue à celui de Lagrange, mais de façon différente ( « version licence » )

• Portail des mathématiques