Théorème de Zsigmondy

Le théorème a été découvert par Zsigmondy, qui travaillait à Vienne de 1894 à 1925.

Soit ${\displaystyle (a_{n})_{n\geq 1}}$une suite d'entiers non nuls. L'ensemble de Zsigmondy associé à la suite est l'ensemble

${\displaystyle {\mathcal {Z}}(a_{n})=\{n\geq 1\mid a_{n}{\text{ n'a pas de diviseur premier primitif}}\}}$,

c'est-à-dire l'ensemble des indices ${\displaystyle n}$ tels que tout nombre premier divisant ${\displaystyle a_{n}}$ divise aussi ${\displaystyle a_{m}}$ pour un certain ${\displaystyle m<n}$. Ainsi, le théorème de Zsigmondy implique que ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(a^{n}-b^{n})\subset \{1,2,6\}}$, et le théorème de Carmichael (en) énonce que l'ensemble de Zsigmondy de la suite de Fibonacci est ${\displaystyle \{1,2,6,12\}}$, et celui de la suite de  Pell est ${\displaystyle \{1\}}$. En 2001, Bilu, Hanrot et Voutier[1] ont prouvé qu'en général, si ${\displaystyle (a_{n})_{n\geq 1}}$ est une suite de Lucas ou une suite de Lehmer (en), alors ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(a_{n})\subset \left[1,30\right]}$.