Théorème de comparabilité cardinale

En mathématiques, et plus précisément en théorie des ensembles, le théorème de comparabilité cardinale, dû à Friedrich Hartogs[1], énonce qu'entre deux ensembles, il existe forcément une injection de l'un dans l'autre. Autrement dit, pour deux ensembles A et B quelconques, il existe une injection de A dans B ou il existe une injection de B dans A.

On peut reformuler ce théorème de la façon suivante. Si l'on note A ≤ B la propriété « il existe une injection de l'ensemble A dans l'ensemble B », alors ≤ est un « préordre » (en un sens étendu, puisqu'il porte sur une classe propre : celle de tous les ensembles). Le fait que ce préordre soit total, c'est-à-dire que pour deux ensembles A et B, on a au moins A ≤ B ou B ≤ A, est alors exactement l'énoncé du théorème de comparabilité cardinale. Les classes d'équivalences associées à ce préordre sont les classes d'équipotence par le théorème de Cantor-Bernstein, et ce sont aussi des classes propres en dehors de celle de l'ensemble vide.

Sa démonstration, elle, utilise nécessairement l'axiome du choix : ce théorème est même équivalent à l'axiome du choix, par comparaison cardinale entre un ensemble et son cardinal de Hartogs[2].

Le théorème de comparaison cardinale se déduit immédiatement du théorème de Zermelo et du théorème de comparaison entre bons ordres. Une démonstration directe repose sur le lemme de Zorn : le graphe d'une injection de A dans B ou de B dans A est donné par un élément maximal (au sens de l'inclusion) de l'ensemble (inductif) des graphes d'injections d'une partie de A dans une partie de B.