Théorème de densité de Tchebotariov

En théorie algébrique des nombres, le théorème de Tchebotariov, dû à Nikolai Tchebotariov et habituellement écrit[1] théorème de Chebotarev[2], précise le théorème de la progression arithmétique de Dirichlet sur l'infinitude des nombres premiers en progression arithmétique : il affirme que, si a, q ≥ 1 sont deux entiers premiers entre eux, la densité naturelle de l'ensemble des nombres premiers congrus à a modulo q vaut 1/φ(q).

Énoncé

Le cadre du théorème de Tchebotariov est le suivant : on considère une extension galoisienne $L/K$ de corps de nombres, de groupe de Galois $G$ . Pour tout idéal entier ${\mathfrak {a}}$ de $K$ , on note ${\mathcal {N}}({\mathfrak {a}})=\left|{\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {a}}\right|$ la norme de ${\mathfrak {a}}$ .

Considérons un idéal premier ${\mathfrak {p}}$ de $K$ non ramifié dans $L$ , et soit ${\mathfrak {P}}\mid {\mathfrak {p}}$ un idéal premier de $L$ au-dessus de ${\mathfrak {p}}$ .

On montre qu'il existe un unique élément $\sigma _{\mathfrak {P}}\in G$ caractérisé par la relation suivante : pour tout élément $\alpha \in {\mathcal {O}}_{L}$ , on a

\sigma _{\mathfrak {P}}(\alpha )\equiv \alpha ^{{\mathcal {N}}({\mathfrak {p}})}{\pmod {\mathfrak {P}}}.

Si $G$ n'est pas abélien, cela dépend du choix de ${\mathfrak {P}}$ : en effet, si ${\mathfrak {P'}}$ est un autre idéal premier au-dessus de ${\mathfrak {p}}$ , il existe un élément $\sigma \in G$ tel que ${\mathfrak {P'}}=\sigma ({\mathfrak {P}})$ , et alors $\sigma _{\mathfrak {P'}}$ et $\sigma _{\mathfrak {P}}$ sont conjugués dans $G$ .

On considère alors la classe de conjugaison $\{\sigma _{\mathfrak {P}},\,{\mathfrak {P}}\mid {\mathfrak {p}}\}$ , que l'on nomme symbole de Frobenius de ${\mathfrak {p}}$ dans $L/K$ , encore noté (par abus) $\sigma _{\mathfrak {p}}$ . Remarquons que, si $G$ est abélien, cette classe est réduite à un seul élément.

Nous pouvons alors énoncer le théorème que Tchebotariov démontra dans sa thèse en 1922 :

Théorème de Tchebotariov — Soit $C$ une classe de conjugaison dans $G$ . Alors l'ensemble des idéaux premiers ${\mathfrak {p}}$ de $K$ , non ramifiés dans $L$ , et tels que $\sigma _{\mathfrak {p}}=C$ , a pour « densité naturelle[3] » $|C|/|G|$ .

La version quantitative du théorème de la progression arithmétique de Dirichlet sur les nombres premiers en progression arithmétique en découle, en appliquant le théorème précédent à une extension cyclotomique de ℚ.

Notes et références

Fautivement, par influence de l'anglais : voir Transcription du russe en français.
Jean-Pierre Serre, « Quelques applications du théorème de densité de Chebotarev », Publ. Math. IHES, vol. 54,‎ 1981, p. 123-201 (lire en ligne).
Pour la signification particulière de ce terme dans ce contexte, voir Serre 1981, p. 131.

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[1] Fautivement, par influence de l'anglais : voir Transcription du russe en français.

[2] Jean-Pierre Serre, « Quelques applications du théorème de densité de Chebotarev », Publ. Math. IHES, vol. 54,‎ 1981, p. 123-201 (lire en ligne).

[3] Pour la signification particulière de ce terme dans ce contexte, voir Serre 1981, p. 131.