Théorème de récurrence de Poincaré

Le théorème de récurrence de Poincaré dit que, pour presque toutes les « conditions initiales », un système dynamique conservatif dont l'espace des phases est de « volume » fini va repasser au cours du temps aussi près que l'on veut de sa condition initiale, et ce de façon répétée.

Contexte

Système dynamique

Soit un système dynamique mesuré, c’est-à-dire un triplet $(X,\mu ,\phi )$ où :

$X$ est un espace mesurable, qui représente l'espace des phases du système.
$\mu$ est une mesure finie sur $X$ ,
$\phi :X\to X$ est une fonction mesurable préservant la mesure $\mu$ , c’est-à-dire telle que :

\forall \ A\subset X\ ,\quad (\mu \circ \phi ^{-1})(A)\ =\ \mu \left[\phi ^{-1}(A)\right]\ =\ \mu (A)

.

Récurrence d'un point

Soit $A\subset X$ un sous-ensemble mesurable. Un point $x\in X$ est dit récurrent par rapport à $A$ si

\phi ^{k}(x)\in A

pour une infinité d'entiers

k

.

Autrement dit : $x$ est récurrent par rapport à $A$ si pour tout entier naturel $p$ , il existe un entier $k\geq p$ tel que $\phi ^{k}(x)\in A$ , c'est-à-dire si $x\in \cap _{p\in \mathbb {N} }\cup _{k\geq p}\phi ^{-k}(A)$ .

Théorème de récurrence de Poincaré

Soit $A\subset X$ un sous-ensemble mesurable pour la mesure $\mu$ . Alors, presque tous[1] les points de $A$ sont récurrents par rapport à $A$ [2]^,[3].

Démonstration

Posons $U_{p}=\cup _{k\geq p}\phi ^{-k}(A)$ (pour tout entier naturel $p$ ) et $U=\cap _{p\in \mathbb {N} }U_{p}$ .

Il s'agit de prouver que l'ensemble $A\setminus U=\cup _{p\in \mathbb {N} }\left(A\setminus U_{p}\right)$ des points de $A$ non récurrents par rapport à $A$ est de mesure nulle[4], c'est-à-dire (puisqu'il s'agit d'une union dénombrable) que chaque $A\setminus U_{p}$ est de mesure nulle.

De $U_{p+1}=\phi ^{-1}(U_{p})$ et $\mu \left[\phi ^{-1}(U_{p})\right]=\mu (U_{p})$ , on déduit que tous les $U_{p}$ ont même mesure.

On conclut en utilisant que $A$ et $U_{p}$ sont inclus dans $U_{0}$ :

\mu \left(A\setminus U_{p}\right)\leq \mu \left(U_{0}\setminus U_{p}\right)=\mu \left(U_{0}\right)-\mu \left(U_{p}\right)=0

.

Histoire

Le théorème a été publié par Poincaré en 1890 dans l'article Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique[5]. Ce mémoire vaudra à son auteur le prix du roi Oscar, roi de Norvège et de Suède et passionné de mathématiques. Le jury était composé de Weierstrass, Mittag-Leffler et Hermite. L'histoire de ce mémoire est célèbre[6].

Notes et références

En théorie de la mesure, on dit qu'une propriété P est vraie pour « presque tous les points » (d'un ensemble mesurable) si l'ensemble des x pour lesquels P(x) est fausse est de mesure nulle.
Yves Coudène, Théorie ergodique et systèmes dynamiques, EDP Sciences (lire en ligne), p. 11-12.
Luís Barreira et Claudia Valls, Théorie des systèmes dynamiques : une introduction, EDP Sciences (lire en ligne), p. 183-184.
Si A est de mesure nulle, il peut même arriver qu'aucun point de A ne soit récurrent (par rapport à A), ce qui ne contredit pas le théorème, mais ne correspond pas à ce à quoi on s'attendrait intuitivement.
Henri Poincaré, « Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique », Acta Mathematica, vol. 13,‎ 1890, p. 1-270
Lire par exemple (en) June Barrow-Green, Poincaré and the Three Body Problem, AMS & LMS, coll. « History of Mathematics » (n^o 11), 1997 (lire en ligne).

Voir aussi

Articles connexes

Lien externe

François Béguin, « Le théorème de récurrence de Poincaré », sur Images des maths, 20 avril 2012

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[1] En théorie de la mesure, on dit qu'une propriété P est vraie pour « presque tous les points » (d'un ensemble mesurable) si l'ensemble des x pour lesquels P(x) est fausse est de mesure nulle.

[2] Yves Coudène, Théorie ergodique et systèmes dynamiques, EDP Sciences (lire en ligne), p. 11-12.

[3] Luís Barreira et Claudia Valls, Théorie des systèmes dynamiques : une introduction, EDP Sciences (lire en ligne), p. 183-184.

[4] Si A est de mesure nulle, il peut même arriver qu'aucun point de A ne soit récurrent (par rapport à A), ce qui ne contredit pas le théorème, mais ne correspond pas à ce à quoi on s'attendrait intuitivement.

[5] Henri Poincaré, « Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique », Acta Mathematica, vol. 13,‎ 1890, p. 1-270

[6] Lire par exemple (en) June Barrow-Green, Poincaré and the Three Body Problem, AMS & LMS, coll. « History of Mathematics » (n^o 11), 1997 (lire en ligne).