Théorème des six cercles

En géométrie euclidienne plane, le théorème des six cercles s'énonce ainsi :

Soit un triangle vrai quelconque, les côtés étant numérotés c1, c2 c3. On considère un cercle Γ1 quelconque, tangent aux côtés c1 et c2. Puis le cercle Γ2 tangent à Γ1, c2 et c3, le cercle Γ3 tangent à Γ2, c3 et c1, et ainsi de suite en « tournant » dans le triangle. Alors, le cercle Γ6 est tangent à Γ1.

Ne doit pas être confondu avec Théorème du sixième cercle de Miquel.

Diverses configurations illustrant le théorème. Dans la dernière, les cercles sont une fois sur deux confondus avec le cercle rouge.

Autrement dit, le septième cercle construit est confondu avec le premier. La suite des cercles, a priori infinie, n'est, d'après le théorème, constituée que de six cercles différents.

Histoire

Le problème des six cercles n'a été énoncé (et démontré) qu'en 1974[1].

Une variante en a été étudiée en 2016 : le contact des cercles peut se faire sur une extension des côtés (pas seulement sur les côtés eux-mêmes), mais comme à chaque étape il y a deux choix possibles, on s'impose de toujours choisir le plus petit des deux cercles. Alors la suite des cercles aboutit aussi à un cycle de six, mais après une séquence pré-périodique qui peut être rendue arbitrairement longue en fonction du choix de la forme du triangle et du premier cercle[2].

Notes et références
  1. (en) C. J. A. Evelyn, G. B. Money-Coutts et John Alfred Tyrrell, The Seven Circles Theorem and Other New Theorems, Londres, Stacey International (en), (ISBN 978-0-9503304-0-2), p. 49-58.
  2. (en) Dennis Ivanov et Serge Tabachnikov, « The six circles theorem revisited », The American Mathematical Monthly, vol. 123, no 7,‎ , p. 689-698 (DOI 10.4169/amer.math.monthly.123.7.689, arXiv 1312.5260).

Liens externes
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