Théorème du papillon
Le théorème du papillon est un théorème de la géométrie euclidienne. Son nom provient de la similitude entre la disposition des deux triangles (voir figure) et les ailes d'un papillon.
Ne doit pas être confondu avec le lemme de Zassenhaus ou « lemme du papillon » .
Énoncé
Théorème du papillon — Soit M le milieu d'une corde arbitraire [PQ] d'un cercle. Quatre autres cordes sont tracées : [AB] et [CD] passant par M, puis les cordes [AD] et [BC], ces deux dernières intersectant la corde [PQ] en X et Y respectivement. Alors, .
Démonstration
Les notations sont celles de la figure et correspondent à l'énoncé ci-dessus.
On nomme le pied de la hauteur issue de X dans le triangle AXM. De même on nomme pied de la hauteur issue de X dans le triangle DXM, pied de la hauteur issue de Y dans le triangle BYM et pied de la hauteur issue de Y dans le triangle CYM.
On remarque alors que les triangles et sont semblables car (ce sont des angles droits) et car ils sont opposés par le sommet ; d'où : .
De même est semblable à et .
On procède de la même manière pour les triangles semblables et sachant que car ces angles interceptent le même arc (voir Théorème de l'angle inscrit et de l'angle au centre) ; d'où : .
De même est semblable à et .
On a donc :
- (voir Puissance d'un point par rapport à un cercle)
- car
Ainsi , ce sont des longueurs donc .
M est bien le milieu du segment .
Liens externes
- Une démonstration du théorème avec une animation Flash sur le site de Thérèse Eveilleau
- (en) 17 démonstrations différentes de ce théorème sur cut-the-knot
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