Théorème du rang

Lorsque les espaces vectoriels E et F sont de dimension finie et ont même dimension n, le théorème du rang permet d'établir[4]^,[5] l'équivalence entre les propriétés suivantes :

1. l'application f est un isomorphisme de E sur F ;
2. l'application f est surjective ;
3. l'application f est injective ;
4. le rang de f est égal à n.

Soit f une application linéaire d'un espace vectoriel E de dimension finie dans lui-même. On a comme précédemment la relation :

${\displaystyle \mathrm {dim\,im} f+\mathrm {dim\,} \ker f=\mathrm {rg} (f)+\mathrm {dim\,} \ker f=\dim E\,}$,

d'où l'on déduit que im f et ker f sont supplémentaires si et seulement si leur intersection est réduite au vecteur nul.

Le théorème du rang peut s'écrire pour les matrices. Si A est une matrice (m, n) sur un corps K, alors

${\displaystyle {\rm {rg}}A+{\rm {dim\,}}(\ker U)=n}$

où U est l'application linéaire de Kⁿ dans K^m canoniquement associée à la matrice A.

Certains définissent le noyau d'une matrice de la manière suivante :

${\displaystyle \ker A:=\{X\in {\mathcal {M}}_{n,1}(K)\mid AX=0\}}$,

qui est un sous-espace vectoriel de ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n,1}(K)}$ de même dimension que ker U.

Le théorème du rang s'écrit alors

${\displaystyle {\rm {rg}}\,A+{\rm {dim}}(\ker A)=n}$.

Ce théorème est une forme particulière du premier théorème d'isomorphisme de l'algèbre dans le cas des espaces vectoriels.

Dans un langage plus moderne, le théorème peut être énoncé de la manière suivante : si

${\displaystyle 0\rightarrow D\rightarrow E\rightarrow F\rightarrow 0}$

est une suite exacte courte d'espaces vectoriels, alors

${\displaystyle {\rm {dim}}(D)+{\rm {dim}}(F)={\rm {dim}}(E).}$

Ici, F joue le rôle de im f et D celui de ker f.

Cette formulation peut être généralisée à une suite exacte de longueur quelconque (éventuellement infinie) : si

${\displaystyle \ldots \to E_{n-1}\to E_{n}\to E_{n+1}\to \ldots }$

est une suite exacte d'espaces vectoriels, alors

${\displaystyle \sum _{n{\text{ pair}}}\dim(E_{n})=\sum _{n{\text{ impair}}}\dim(E_{n}),}$

ce qui, lorsque les seuls E_n non nuls sont ceux tels que p ≤ n ≤ q et sont de dimensions finies, se réécrit :

${\displaystyle \sum _{n=p}^{q}(-1)^{n}\dim(E_{n})=0.}$

Démonstration

Notons f_n le morphisme de E_n vers E_{n + 1} dans cette suite. On a donc, par le théorème du rang (valide même pour des dimensions infinies) :

${\displaystyle \dim(E_{n})=\dim(\ker f_{n})+\dim({\rm {im}}f_{n})}$

et par exactitude :

${\displaystyle {\rm {im}}f_{n}=\ker f_{n+1}.}$

On en déduit :

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n{\text{ pair}}}\dim(E_{n})&=\sum _{n{\text{ pair}}}\dim(\ker f_{n})+\sum _{n{\text{ pair}}}\dim({\rm {im}}f_{n})\\&=\sum _{n{\text{ pair}}}\dim({\rm {im}}f_{n-1})+\sum _{n{\text{ pair}}}\dim(\ker f_{n+1})\\&=\sum _{n{\text{ impair}}}\dim({\rm {im}}f_{n})+\sum _{n{\text{ impair}}}\dim(\ker f_{n})\\&=\sum _{n{\text{ impair}}}\dim(E_{n}).\end{aligned}}}$

Le théorème du rang pour des espaces vectoriels de dimension finie peut aussi être formulé en termes d'indice d'application linéaire. L'indice d'une application linéaire f de E dans F, où E et F sont des espaces vectoriels de dimension finie, est défini par

${\displaystyle {\rm {indice}}f={\rm {dim}}(\ker f)-{\rm {dim}}({\rm {coker}}f)}$ où coker désigne le conoyau de f.

Intuitivement, dim(ker f) est le nombre de solutions indépendantes x de l'équation f(x) = 0, et dim(coker f) est le nombre de restrictions indépendantes sur y ∈ F pour rendre l'équation f(x) = y résoluble. Le théorème du rang pour des espaces vectoriels de dimension finie est équivalent à la proposition

${\displaystyle {\rm {indice}}f={\rm {dim}}(E)-{\rm {dim}}(F)}$

Cela signifie que l'indice est indépendant de la fonction f choisie dans L(E, F). Ce résultat est généralisé par le théorème de l'indice d'Atiyah-Singer, qui affirme que l'indice de certains opérateurs différentiels peut être obtenu à partir de la géométrie des espaces impliqués.