Théorèmes abéliens et taubériens

De manière générale, les théorèmes abéliens donnent des conditions pour que deux méthodes de sommation aboutissent au même résultat (et, le plus souvent, pour que ce résultat soit la somme usuelle de la série lorsque celle-ci converge) ; les théorèmes taubériens donnent des conditions sur une série pour que, si elle est sommable par une méthode donnée, elle soit en fait convergente (vers la même somme). Mais il n'existe pas réellement de définition universellement acceptée de la signification de ces termes.

Pour une méthode de sommation donnée, L, le théorème abélien correspondant affirme que si c = (c_n) est une suite convergente de limite C[1], alors L(c) = C. Un exemple est donné par la méthode de Cesàro (d'ordre 1), où l'on prend pour L la limite des moyennes arithmétiques des N premiers termes de c, quand N tend vers l'infini : on montre que si c converge vers C, il en est de même de la suite (d_N), où d_N = (c₁ + c₂ + ... +c_N)/N (ce résultat s'appelle le lemme de Cesàro).

Le nom de ces théorèmes vient du théorème d'Abel sur les séries entières. Dans ce cas, L est la limite radiale de la série entière de terme général a_nzⁿ, obtenue en posant z = r·e ^iθ et en faisant tendre r vers 1 par valeurs inférieures ; cette méthode n'a évidemment d'intérêt que si le rayon de convergence de la série vaut 1, et dans ce cas, le théorème d'Abel affirme que la limite radiale de la série est égale à sa valeur en r=1 si la série converge en ce point (on trouvera dans l'article série alternée des entiers l'exemple classique donné par Euler du calcul de la valeur 1-2+3-...=1/4 par une méthode essentiellement équivalente ; bien entendu, dans ce cas, la série initiale est divergente).

Les réciproques (partielles) des théorèmes abéliens sont appelées des théorèmes taubériens. Le résultat original obtenu par Alfred Tauber[2] affirmait que si la limite radiale existe, et si l'on suppose également a_n = o(1/n) (voir les notations de Landau), alors la série obtenue en posant r = 1 converge également. Ce résultat fut amélioré par John Edensor Littlewood, qui montra qu'il suffit que a_n = O(1/n). Une forme bien plus générale encore est le théorème taubérien de Hardy-Littlewood.

Ainsi, de manière générale, un théorème abélien affirme que le domaine d'un procédé de sommation L contient toutes les suites convergentes, et que la valeur de L pour ces suites est leur limite. Un théorème taubérien affirme que, sous certaines conditions de comportement asymptotique, les suites qui sont évaluées par L sont exactement les suites convergentes.

En particulier, si l'on considère que L est une sorte de limite de moyennes pondérées généralisées, un théorème taubérien dit que, sous certaines hypothèses, on peut se passer de cette pondération. Ce type de résultat a de nombreuses applications en théorie des nombres, en particulier dans la manipulation de séries de Dirichlet.

La théorie prit un nouvel essor à la suite des résultats très généraux obtenus par Norbert Wiener, en particulier par le théorème taubérien de Wiener et son vaste ensemble de corollaires. Ce théorème, qui éclaira des liens inattendus entre l'analyse harmonique et les méthodes issues de l'étude des algèbres de Banach, couvre à lui seul une grande partie des résultats précédents.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Abelian and tauberian theorems » (voir la liste des auteurs).

• Jacob Korevaar, Tauberian theory. A century of developments, vol. 329, Springer-Verlag, coll. « Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften », 2004, 483 p. (ISBN 978-3-540-21058-0, lire en ligne)
• (en) Hugh L. Montgomery et Robert Charles Vaughan, Multiplicative number theory I. Classical theory, vol. 97, Cambridge, Cambridge Univ. Press, coll. « Cambridge tracts in advanced mathematics », 2007, 147–167 p. (ISBN 978-0-521-84903-6 et 0-521-84903-9, lire en ligne)
• (en) Norbert Wiener « Tauberian theorems », Annals of Mathematics, vol. 33, n^o 1,‎ 1932, p. 1–100 (DOI 10.2307/1968102, JSTOR 1968102)

• (en) « Tauberian theorems », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1-55608-010-4) (lire en ligne)

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