Théorèmes de Newton

Un corps qui se trouve à l'intérieur d'une couche sphérique de matière ne ressent aucune force gravitationnelle nette de cette couche.

Soit une sphère de matière de densité uniforme. Quelle est sa contribution gravitationnelle au point M de position r ?

Soit le cône d'angle solide dΩ de sommet M ; l'axe du cône coupe la sphère en deux points P₁ et P₂ dont les distances à M sont r₁ et r₂. En ces points passent deux plans tangents à la sphère ; ils forment le même angle avec l'axe du cône (Θ₁=Θ₂). On peut s'en rendre compte par de simples considérations géométriques. Ainsi les masses contenues dans dΩ sont proportionnelles au carré des distances soit,

${\displaystyle {\frac {\delta m_{1}}{\delta m_{2}}}=\left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}\right)^{2}}$

d'où

${\displaystyle -G{\frac {\delta m_{1}}{r_{1}^{2}}}=-G{\frac {\delta m_{2}}{r_{2}^{2}}}}$

Donc la particule située en M est attirée par des forces de même intensité mais de directions opposées et la contribution des points P₁ et P₂ est nulle. La somme sur toute la sphère de ces forces donne donc une force globale nulle.

Le potentiel à l'intérieur d'une sphère de matière uniforme est constant puisque la force gravitationnelle dérive du potentiel.

${\displaystyle \nabla \Phi ({\rm {P}})=0\Rightarrow \Phi ({\rm {P}})={\rm {cste}}}$

La force gravitationnelle d'un corps qui se trouve à l'extérieur d'une couche sphérique fermée de matière est la même que ce qu'elle serait si toute la matière de la couche était rassemblée en son centre.

Le mode de calcul précédent n'aboutit pas, mais avec une astuce, la démonstration devient simple.

Soient deux sphères de rayons a et r > a, concentriques et portant la même quantité de matière répartie uniformément. Soient P et Q deux points diamétralement opposés sur la sphère extérieure, et de même P' et Q' sur la sphère intérieure (voir schéma).

La démonstration consiste à comparer le potentiel en P d'un élément de masse compris dans l'angle solide dΩ autour de Q' avec celui en P' d'un élément de masse en Q dans le même angle solide. Puisque les sphères portent la même masse M, les masses en Q et Q' sont les mêmes et valent

${\displaystyle \delta m=M{\frac {{\rm {d}}\Omega }{4\pi }}}$

Alors on a en P :

${\displaystyle \delta \Phi ({\rm {P}})=-G{\frac {\delta m}{\rm {PQ'}}}}$

et en P' :

${\displaystyle \delta \Phi ({\rm {P'}})=-G{\frac {\delta m}{\rm {P'Q}}}}$

Par symétrie, les distances PQ' et P'Q sont égales donc les potentiels δΦ(P) et δΦ(P') aussi. En intégrant les deux potentiels sur leurs sphères respectives, les potentiels globaux le sont aussi. Comme on connaît par ailleurs le potentiel à l'intérieur d'une sphère (voir corollaire), on déduit celui à l'extérieur :

${\displaystyle \Phi ({\rm {P}})=-G{\frac {M}{r}}}$

qui ne dépend pas du rayon a de la sphère intérieure.