Théorie d'Auslander-Reiten

En algèbre, la théorie d'Auslander-Reiten étudie la théorie des représentations des anneaux artiniens à l'aide de techniques telles que les suites d'Auslander-Reiten (également appelées suites presque scindées) et les carquois d'Auslander-Reiten. La théorie d'Auslander-Reiten a été introduite par Maurice Auslander et Iduun Reiten et développée par eux dans plusieurs articles ultérieurs.

Suite presque scindée

Définition

Soit une algèbre d'Artin. Une suite

de modules gauches de type fini sur est appelée une suite presque scindée (ou suite d'Auslander–Reiten) si elle a les propriétés suivantes :

  • La suite n'est pas scindée ;
  • est indécomposable et tout homomorphisme d'un module indécomposable dans qui n'est pas un isomorphisme se factorise par  ;
  • est indécomposable et tout homomorphisme de vers un module indécomposable qui n'est pas un isomorphisme se factorise par .

Pour tout module gauche de type fini qui est indécomposable mais non projectif, il existe une suite presque scindée comme ci-dessus, qui est unique à isomorphisme près. De même, pour tout module gauche de type fini qui est indécomposable mais non injectif, il existe une suitz presque scindée comme ci-dessus, qui est unique à isomorphisme près.

Le module dans la suite presque scindée est isomorphe à , le dual de la transposée de .

Exemple

On prend pour est l'anneau pour un corps et un entier . Les modules indécomposables sont isomorphes à l'un des pour et le seul qui est projectif est celui pour . Les suites presque scindées sont isomorphes à

pour . Le premier morphisme envoie sur , et le second envoie sur .

Carquois d'Auslander-Reiten

Le carquois d'Auslander-Reiten d'une algèbre d'Artin possède un sommet pour chaque module indécomposable et une flèche entre les sommets s'il existe un morphisme irréductible entre les modules correspondants. Il possède une application appelée translation des sommets non projectifs vers les sommets non injectifs, où est le dual et la transposée.

Références

Bibliographie

Liens externes

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