Tirage (mathématiques)

En mathématiques, en particulier dans le cadre de l'étude des probabilités, on effectue un tirage lorsqu'on sélectionne aléatoirement un sous-ensemble d'un ensemble d'éléments. L'analogie souvent donnée est celle d'une urne dont l'intérieur est invisible et contenant par exemple des boules numérotées ou colorées, dont l'opérateur prélève un nombre prédéfini.

Tirage sans remise

Soit une urne contenant $N$ boules, dont $m$ boules blanches. Les autres boules sont noires (il y en a donc $N - m$ ).

Considérons l'expérience suivante : tirer (sans remise) un échantillon de $n$ boules.

La probabilité d'obtenir alors $k$ boules blanches est donné par une loi hypergéométrique. Si on appelle $X$ le nombre de boules blanches tirées, la probabilité d'en avoir $k$ s'écrit $\mathbb {P} (X=k)$ et vaut : $p(X=k)={\frac {C_{m}^{k}C_{N-m}^{n-k}}{C_{N}^{n}}}$ .

Ceci se comprend ainsi : le nombre de combinaisons correspondant à $k$ boules blanches se calcule en multipliant le nombre de possibilités de tirage de $k$ boules blanches parmi $m$ ( $C k m$ aussi noté ${m \choose k}$ ) par le nombre de possibilités de tirage du reste, soit $n - k$ boules noires parmi $N - m$ (soit $C n - k N - m$ ). Il faut ensuite diviser ce nombre de possibilité par le nombre total de tirages ( $C n N$ ) pour obtenir la probabilité cherchée.

Tirage avec remise

Il s'agit de retirer un objet, noter sa ou ses caractéristiques et le remettre dans l'urne. Ce problème est lié au problème d'occupation[1]^,[2]qui consiste à jeter $n$ boules dans $k$ urnes différentes et ensuite compter le nombre d'urnes vides.

Exemple de tirage avec remise

Pour une urne contenant $m$ boules, la probabilité de les avoir toutes tirées au cours de $n$ tirages successifs avec remise est de

\sum _{i=0}^{m}(-1)^{m-i}{m \choose i}\left({\frac {i}{m}}\right)^{n}

Pour 201 boules, c'est à partir de 1986 tirages que l'on obtient une probabilité d'au moins 99 % de les avoir toutes tirées (Voir la démonstration du cas général).

Article connexe

Notes et références

(en) « A formula for the occupancy problem », sur A Blog on Probability and Statistics, 4 avril 2010 (consulté le 19 août 2020).
Statistical Inference in the Classical Occupancy Problem Unbiased Estimation of the Number of Classes, Bernard Harris, Vol. 63, No. 323 (Sep., 1968), pp. 837-847

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[1] (en) « A formula for the occupancy problem », sur A Blog on Probability and Statistics, 4 avril 2010 (consulté le 19 août 2020).

[2] Statistical Inference in the Classical Occupancy Problem Unbiased Estimation of the Number of Classes, Bernard Harris, Vol. 63, No. 323 (Sep., 1968), pp. 837-847