Tonneau (formules)
Pour trouver la capacité d'un tonneau, ou jaugeage, beaucoup de formules ont été proposées. Celles-ci sont en général approchées, une formule exacte nécessitant de connaître la forme précise du tonneau.
Pour les articles homonymes, voir Tonneau.
Quelques formules historiques

On se donne la hauteur L du tonneau, le diamètre minimal d, dit diamètre du fond, et le diamètre maximal D, dit diamètre du bouge. La plupart des formules historiques reviennent à approximer le volume du tonneau par celui d'un cylindre de même hauteur, mais de diamètre intermédiaire entre celui du fond et celui du bouge.
- Kepler a donné une formule approchée
Ce volume est celui de deux troncs de cône réunis par leur base de diamètre D. Il sous-estime légèrement le volume du tonneau.
- Oughtred a modifié la formule :
Cette formule correspond précisément à un tonneau dont le profil est celui d'un arc d'ellipse.
- Une instruction du ministère de l'Intérieur en pluviôse de l'an VII fixa la formule suivante[1] :
Ou encore :
- Dez[2] a établi la formule :
Ou encore :
- Les Douanes emploient la formule :
Dans laquelle représente la diagonale allant du trou de bonde au point le plus éloigné de ce trou. Elle est très rapide, car elle n'exige qu'une seule mesure.
Calcul
La forme générale des tonneaux consiste en une surface de révolution engendrée par une portion de courbe et terminée par deux plans parallèles équidistants de l'équateur. Le volume se calcule de la façon suivante :
Où est la surface du disque de rayon
Les formes les plus usuelles sont données par les exemples qui suivent.
Parabole
On choisit l'axe du tonneau comme axe de la parabole. L'équation de la parabole est de la forme , avec et . Le polynôme s'intègre facilement, et on obtient :
Ellipse
Elle a pour équation , où et . D'où la formule qui s'intègre facilement elle aussi, et on obtient :
On retrouve la formule d'Oughtred.
Cercle
C'est la courbe qui vient immédiatement à l'esprit, car elle est facile à tracer au compas. L'équation s'exprime par : (cercle de centre H, de rayon R et passant par A et B), avec et . D'où et finalement :
Noter que si l'on réalise un développement limité à l'ordre 2 de cette formule suivant , on retrouve la formule de la parabole donnée plus haut.
Cosinus
On prend avec et , ce qui donne et :
Comparaison des formules
Application numérique d'un cas réel. Les cotes sont en décimètres pour des résultats directs en litres.
- d = 6,06 dm (petit diamètre)
- D = 7,01 dm (diamètre du bouge)
- L = 8,05 dm (longueur)
- c = 7,68 dm (cas de la formule des Douanes)
- b = -13,79 dm (cas du cercle), pour mémoire, car b dépend de d, D et L
- R = 17,29 dm (cas du cercle), pour mémoire, car R dépend de d, D et L
Formule | Volume (litres) |
---|---|
Kepler (troncs de cônes) | 270,48 |
Oughtred (ellipse) | 284,52 |
Dez | 279,91 |
Douanes | 283,12 |
Pluviôse an VII | 283,25 |
Parabole | 283,76 |
Cercle | 283,90 |
Cosinus | 283,51 |
Volume d'un tonneau de section elliptique
Soient A et B les diamètres de la section elliptique du bouge, et soient a et b les diamètres des fonds.
Si on a des paraboles comme génératrices, on a les formules :
Dans le plan xOy :
Dans le plan xOz :
Volume partiel en fonction de la hauteur de liquide
La génératrice est la parabole d'équation :
- Pour un tonneau couché
Soit la hauteur de liquide
Soit et les bornes maximales selon les valeurs de
et
Où représente le segment circulaire, de rayon , de flèche .
Si , alors
Si , alors
Si , alors
- Pour un tonneau debout
Surfaces
On considère ici aussi la parabole comme génératrice. Soit cette surface
où est la différentielle de l'abscisse curviligne.
L'intégration se fait par le changement de variable :
On arrive à :
Puis on ajoute les deux fonds :
Surface du tonneau en contact avec le liquide
- Tonneau couché
Si , alors
Si , alors
Si , alors
- Tonneau debout
et en tenant compte d'un fond :
Si alors . Et si le tonneau est plein. Voir supra.
Surface de liquide en contact avec l'air
- Tonneau couché
La génératrice est la parabole.
La corde au point d'abscisse s'exprime par :
Si ,
Si , alors
Si , alors
- Tonneau debout
La génératrice est la parabole
Si le tonneau est vide, et si le tonneau est plein.
Voir aussi
Bibliographie
- Grand dictionnaire universel du XIXe siècle par Pierre Larousse, à l'article Tonneau.
- Quadrature, magazine de mathématiques pures et épicées, no 75, janvier-, EDP Sciences. Le jaugeage des tonneaux : un jardin secret en mathématiques pures et appliquées, par François Jongmans.
Liens externes
- Site perso de Michel Berteau - Volume du tonneau
- Règles à calcul
- Encyclopédie ou Dictionnaire universel raisonné des connoissances humaines, Fortuné Barthélemy de Félice, 1773, volume 24, à l'article Jaugeage.
Notes et références
- Manuel pratique et élémentaire des poids et mesures, et du calcul décimal, p. 409 sur Google Livres, par Sébastien-André Tarbé des Sablons, Paris, 1809. La deuxième formule est donnée par le Grand dictionnaire universel du XIXe siècle de Pierre Larousse.
- Mémoire sur la théorie du jaugeage, p. 383 sur Google Livres par M. Dez, professeur royal de mathématiques à l'École royale militaire, in Mémoires de mathématique et de physique, Paris 1773
- Portail de la géométrie