Topologie numérique

Les études sur la topologie numérique ont débuté à la fin des années 1960 sous l'impulsion d'Azriel Rosenfeld (en) (1931-2004) dont les publications ont joué un rôle majeur dans le développement et la reconnaissance du domaine ; le terme digital topology apparait pour la première fois dans une publication de décembre 1972[1].

Des travaux connexes ont été présentés sous le nom de « grid cell topology (en) » par Pavel Aleksandrov et Heinz Hopf dans leur traité Topologie[2] de 1935 : ils sont considérés comme un lien entre la topologie combinatoire classique et la topologie numérique.

Rosenfeld et al. ont proposé une notion de connectivité digitale, comme la 4-connectivité et 8-connectivité pour les images en 2D, ainsi que 6-connectivité et 26-connectivité pour les images en 3D. Une méthode d’étiquetage en composantes connexes pour les images en 2D a été décrite en 1966[3] (le domaine est toujours très actif). En 1982, T. Pavlidis[4] a proposé l'utilisation d'algorithmes de la théorie des graphes tel que les algorithmes de parcours en profondeur.

Une application en topologie numérique est la suivante : on peut définir des ouverts (et donc une topologie) sur les nombres naturels ou un sous ensemble. La définition suivante aide dans des algorithmes de compression : ${\displaystyle P(n)=\{n\}}$ si n est impair et ${\displaystyle P(n)=\{n-1,n,n+1\}}$ si n est pair. On définit les ouverts de la topologie comme le vide ou des intersections de ${\displaystyle P(n)}$. Cette définition a du sens quand ${\displaystyle n}$ est un pixel de l'écran.

• Complexe simplicial
• Géométrie discrète
• Topologie d'Alexandrov
• Topologie algorithmique (en)

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