Transformation d'Aluthge

En mathématiques et plus précisément en analyse fonctionnelle, la transformation d’Aluthge est une opération définie sur l'ensemble des opérateurs bornés d'un espace de Hilbert ; c'est un outil important pour étudier certaines classes d'opérateurs linéaires.

Soit un espace de Hilbert. On note l'algèbre des opérateurs linéaires continus de dans lui-même.

Théorème de la décomposition polaire

Soient , son opérateur adjoint et la racine carrée de l'opérateur . Il existe une unique isométrie partielle telle que et .

Définition

Soient et sa décomposition polaire. La transformation d'Aluthge de est l'opérateur défini par :

.

Plus généralement, pour tout nombre réel , on appelle -transformation d'Aluthge de l'opérateur .

Exemple

Pour deux vecteurs , on note l'opérateur défini par : . Un calcul élémentaire[1] montre que si alors .

Notes et références

  1. (en) Fadil Chabbabi et Mostafa Mbekhta, « Jordan product maps commuting with the λ-Aluthge transform », J. Math. Anal. Appl., vol. 450, no 1, , p. 293-313 (DOI 10.1016/j.jmaa.2017.01.036) ; (en) Fadil Chabbabi, « Product commuting maps with the λ-Aluthge transform », sur HAL, , prop. 2.1.

Lien externe

(en) « Ariyadasa Aluthge », sur le site du Mathematics Genealogy Project

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