Trisectrice de Maclaurin

Soient deux droites tournant autour des points P (0;0) et P₁ (a ; 0) telles que quand la droite autour de P tourne d'un angle θ par rapport à l'axe horizontal, la droite tournant autour de P₁ tourne d'un angle 3θ. On note Q le point d'intersection, alors l'angle entre les deux droites en 2θ. Par la loi des sinus, on a :

${\displaystyle {r \over \sin 3\theta }={a \over \sin 2\theta }\!}$

dont on tire l'équation en coordonnées polaires (après translation et rotation) :

${\displaystyle r=a{\frac {\sin 3\theta }{\sin 2\theta }}={a \over 2}{\frac {4\cos ^{2}\theta -1}{\cos \theta }}={a \over 2}\left(4\cos \theta -{\frac {1}{\cos \theta }}\right)\!}$.

La courbe est donc un cas particulier de cubique de Sluze.

En coordonnées cartésiennes, l'équation de la courbe est :

${\displaystyle 2x(x^{2}+y^{2})=a(3x^{2}-y^{2})\!}$.

Si l'origine est placée en (a, 0) alors une dérivation similaire de celle donnée supra montre que l'équation de l'équation de la courbe en coordonnées polaires devient

${\displaystyle r=2a\cos {\theta \over 3}\!}$

ce qui montre qu'il s'agit d'un limaçon avec une boucle.

La trisectrice de Maclaurin permet de diviser un angle par 3.

Pour un angle φ donné, on trace un rayon du point (a, 0) vers la trisectrice formant un angle φ avec l'axe horizontal. Le rayon reliant l'origine au point d'intersection entre la trisectrice et le premier rayon forme alors un angle avec l'axe horizontal de φ / 3.

La courbe a une racine en 3a/2 et un point double à l'origine. L'axe vertical x = - a/2 est une asymptote. La courbe intersecte l'axe x = a, ou le point correspondant à la trisection de l'angle droit, en ${\displaystyle \left(a,{\pm {1 \over {\sqrt {3}}}a}\right)}$.

Comme cubique nodale, elle a un genre nul.

L'aire de la boucle vaut

${\displaystyle A_{\text{boucle}}=3{\sqrt {3}}\,a.}$

La longueur de l'arc formant la boucle est :

${\displaystyle l_{\text{boucle}}=-6\mathrm {i} \,\mathrm {E} \left(\mathrm {i} \,\mathrm {arsinh} ({\sqrt {3}})\,,\,{\frac {1}{3}}\right)\,a\approx 8,2446532a}$

où E(x , k) est une intégrale elliptique incomplète de deuxième espèce.

La trisectrice de Maclaurin peut être définie à partir des sections coniques de trois façons. Plus précisément :

• elle est l'inverse par rapport au cercle unité de l'hyperbole

${\displaystyle 2x=a(3x^{2}-y^{2})}$.

• elle est la cissoïde du cercle

${\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$

et la droite x = a/2 par rapport à l'origine.

• elle est la podaire par rapport à l'origine de la parabole

${\displaystyle y^{2}=2a(x-{\tfrac {3}{2}}a)}$.

La trisectrice de Maclaurin est également la polaire de la cardioïde par rapport au centre de son cercle conchoïdal.

De plus :

• l'inverse par rapport au point (a, 0) est un limaçon trisecteur.
• la trisectrice de Maclaurin est reliée au folium de Descartes par transformation affine.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Trisectrix of Maclaurin » (voir la liste des auteurs).
• J. Dennis Lawrence, A catalog of special plane curves, Dover Publications, 1972, 36,95,104–106 (ISBN 0-486-60288-5, lire en ligne)
• (en) Eric W. Weisstein, « Maclaurin Trisectrix », sur MathWorld
• (en) "Trisectrix of Maclaurin" at MacTutor's Famous Curves Index
• Trissectrice de Maclaurin sur mathcurve.com
• (en) "Trisectrix of Maclaurin" at Visual Dictionary Of Special Plane Curves

• (en) Loy, Jim "Trisection of an Angle", Part VI

• Portail des mathématiques