Vérité creuse

En mathématiques et en logique, une vérité creuse^{[réf. nécessaire]} est un énoncé conditionnel ou universel qui est vrai parce que l'antécédent ne peut être satisfait.[1] Par exemple, l'énoncé « tous les téléphones portables dans la pièce sont éteints » est vrai lorsqu'aucun téléphone portable ne se trouve dans la pièce. Dans ce cas, l'énoncé « tous les téléphones cellulaires dans la pièce sont allumés » est également vrai, tout comme la conjonction des deux : « tous les téléphones cellulaires dans la pièce sont allumés et éteints », qui serait autrement incohérente.

En mathématiques pures, les énoncés constituant une vérité creuse ne présentent généralement pas d'intérêt en soi, mais ils apparaissent fréquemment comme le cas de base des preuves par induction mathématique.[2]

On dit qu'un énoncé ${\displaystyle S}$ est une vérité creuse s'il peut s'écrire comme une assertion de la forme ${\displaystyle P\Longrightarrow Q}$ où l'antécédent ${\displaystyle P}$ est faux.[1]^,[3]^,[4]

Les vérités creuses peuvent être réduites aux énoncés logiques suivants :

• ${\displaystyle \forall x:P(x)\Rightarrow Q(x)}$, avec ${\displaystyle \forall x:\neg P(x)}$.
• ${\displaystyle \forall x\in A:Q(x)}$, où l'ensemble ${\displaystyle A}$ est vide.