Valeur absolue ultramétrique

Une valeur absolue ultramétrique est une application d'un corps K dans l'ensemble ℝ₊ des nombres réels positifs vérifiant les trois propriétés suivantes[1] :

$|x|=0_{\mathbb {R} }\iff x=0_{K}$ (axiome de séparation) ;
$|xy|=|x||y|$ (morphisme de groupes multiplicatifs de K* dans ℝ₊*) ;
$|x+y|\leq \max(|x|,|y|)$ (inégalité ultramétrique)

quels que soient les éléments $x$ et $y$ de K.

Exemples

Valeur absolue triviale

La valeur absolue triviale sur K associe à 0 la valeur 0, et à tout autre élément de K la valeur 1.

C'est la valeur absolue ultramétrique associée à la valuation triviale sur K.

Valeur absolue p-adique

Soit un nombre premier arbitraire $p$ . On peut écrire de façon unique n'importe quel nombre rationnel $r$ sous la forme :

$r=p^{k}{\frac {a}{b}}$ où $k\in \mathbb {Z}$ et où $a$ et $b$ sont premiers entre eux et premiers avec $p$ .

On définit alors l'application associant à un nombre rationnel $r$ la valeur $|r|_{p}=p^{-k}$ . Par exemple, $\left|{\frac {21}{4}}\right|_{2}=4,~\left|{\frac {15}{7}}\right|_{2}=1{\text{ et }}\left|{\frac {60}{11}}\right|_{2}={\frac {1}{4}}.$

Cette application est une valeur absolue ultramétrique sur le corps $\mathbb {Q}$ , associée à la valuation p-adique.

Liens avec les notions voisines

Une telle application est un cas particulier de valeur absolue sur un corps.
L'application $d : (x, y) \mapsto | y - x |$ est par conséquent une distance sur K, la symétrie étant due au fait que $|-x|=|x|$ pour tout élément $x$ de K.
Cette distance est ultramétrique.
Une application est une valeur absolue ultramétrique si et seulement si c'est une valeur absolue associée à une valuation à valeurs réelles[2].

Propriétés

Notons $e$ désigne l'élément neutre pour la multiplication de K.

$|e|=|-e|=1$

$|-x|=|x|$ pour tout élément $x$ de K[3].

Démonstration

$|e|=|e.e|=|e|.|e|$ . L'équation $|e|=|e|.|e|$ d'inconnue $|e|$ n'a que deux solutions dans $\mathbb {R}$ , $0$ et $1$ . L'axiome de séparation garantit que $|e|\neq 0$ , il vient donc $|e|=1$ .

De même, $|e|=|-e.-e|=|-e|.|-e|$ , donc $|-e|^{2}=1$ . Comme de plus la valeur absolue ne prend que des valeurs positives, on a $|-e|=1$ .

Enfin, $|-x|=|-e.x|=|-e|.|x|=1.|x|=|x|$ , et donc $|-x|=|x|$ [1].

Pour tout couple $(a, b)$ d'éléments du corps K,

$|a|\neq |b|\Rightarrow |a+b|=\max(|a|,|b|)$ [4].

Démonstration

Comme $|a|\neq |b|$ , l'un des deux est strictement inférieur à l'autre. Supposons sans perte de généralité que $|a|<|b|$ .

D'après l'inégalité ultramétrique, $|b|=|(b+a)+(-a)|\leq \max(|b+a|,|-a|)$ . Or $|-a|=|a|$ d'après une propriété précédente. On a donc $|b|\leq \max(|b+a|,|a|)$ .

Comme $|a|$ est par hypothèse strictement inférieur à $|b|$ , cette inégalité ne peut se réaliser que si $|b|\leq |b+a|$ .

Par ailleurs, en appliquant à nouveau l'inégalité ultramétrique, $|b+a|\leq \max(|b|,|a|)=|b|$ .

En assemblant ces deux résultats, on a $|b|\leq |b+a|\leq |b|$ , ce qui prouve que $|a+b|=|b|=\max(|a|,|b|)$ [1].

Notes et références

Martin Aigner, Günter M. Ziegler et Nicolas Puech (trad. de l'anglais), Raisonnements divins : quelques démonstrations mathématiques particulièrement élégantes, Paris/Berlin/Heidelberg etc., Springer, 2013, troisième éd., 308 p. (ISBN 978-2-8178-0399-9), p. 150-151
N. Bourbaki, Algèbre commutative, chap. 6, § 6, n^o 2, aperçu sur Google Livres.
Ces propriétés proviennent du fait qu'il s'agit d'un cas particulier de valeur absolue sur un corps.
Cet énoncé équivaut au fait que dans l'espace métrique (K, $d$ ), tout triangle est isocèle et de base inférieure ou égale aux deux côtés égaux. C'est une propriété générale des espaces ultramétriques, démontrée dans l'article « Distance ultramétrique ».

Article connexe

Norme ultramétrique

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[springer-1] Martin Aigner, Günter M. Ziegler et Nicolas Puech (trad. de l'anglais), Raisonnements divins : quelques démonstrations mathématiques particulièrement élégantes, Paris/Berlin/Heidelberg etc., Springer, 2013, troisième éd., 308 p. (ISBN 978-2-8178-0399-9), p. 150-151

[2] N. Bourbaki, Algèbre commutative, chap. 6, § 6, n^o 2, aperçu sur Google Livres.

[3] Ces propriétés proviennent du fait qu'il s'agit d'un cas particulier de valeur absolue sur un corps.

[4] Cet énoncé équivaut au fait que dans l'espace métrique (K, $d$ ), tout triangle est isocèle et de base inférieure ou égale aux deux côtés égaux. C'est une propriété générale des espaces ultramétriques, démontrée dans l'article « Distance ultramétrique ».