Valeur approchée

En mathématiques, une valeur approchée d'un nombre est un nombre proche de celui qu'il remplace et attribué pour simplifier un résultat. Lorsqu'on dit « proche », le sens dépend du contexte. Dans le calcul 2 125 + 64, une valeur approchée de 2 125 pourra être 2 100.

Par exemple, on dit que 3,14 est une valeur approchée de $π$ , ou que 300 000 km/s est une valeur approchée de la vitesse de la lumière dans le vide.

Définition d'une valeur approchée

Une valeur approchée d'un nombre réel $x$ à la précision $p$ ou à $p$ près ( $p\in \mathbb {R} _{+}^{*}$ ) est un réel $a$ tel que $\vert x-a\vert \leq p$ , c'est-à-dire tel que $a-p\leq x\leq a+p$ .

Exemples

De l'encadrement $3{,}14-10^{-2}\leq \pi \leq 3{,}14+10^{-2}$ , il s'ensuit que $3{,}14$ est une valeur approchée du nombre $π$ à $10^{-2}$ près. On note aussi $π$ $\approx 3{,}14$ à $10^{-2}$ près.
L'encadrement $3{,}1415-10^{-2}\leq \pi \leq 3{,}1415+10^{-2}$ montre que $3{,}1415$ est aussi une valeur approchée de $π$ à $10^{-2}$ près.

Remarque

Un moyen simple d'obtenir une valeur approchée à $10^{-n}$ près ( $n\in \mathbb {N} ^{*}$ ) d'un réel $x$ est la troncature de $x$ à $n$ décimales près. La troncature consiste à tronquer l'écriture décimale du nombre après la $n$ ème décimale, ce qui revient à remplacer par 0 les décimales de $x$ juste après la $n$ -ième.

Du fait de cette définition, on remarquera que $π$ est aussi une valeur approchée de 3,14.

Définition d'une valeur approchée par défaut

Une valeur approchée par défaut d'un réel $x$ à la précision $p$ ou à $p$ près ( $p\in \mathbb {R} _{+}^{*}$ ) est un réel $a$ tel que $a\leq x\leq a+p$ .

Remarque

Toute troncature d'un nombre positif $x$ à $n$ décimales près représente une valeur approchée par défaut de ce nombre à $10^{-n}$ près.

Définition d'une valeur approchée par excès

Une valeur approchée par excès d'un réel $x$ à la précision $p$ ou à $p$ près ( $p\in \mathbb {R} _{+}^{*}$ ) est un réel $a$ tel que $a-p\leq x\leq a$ .

Propagation des erreurs de calcul

On pourra citer une valeur approchée comme solution mais jamais la reprendre pour continuer d'autres calculs à la suite ; les machines intègrent souvent une touche pour éviter de faire cette erreur.

Voir aussi

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