Variété (algèbre)

En algèbre universelle, une variété est une classe équationnelle, c'est-à-dire une classe K non vide de structures algébriques de même signature qui satisfont un ensemble d'identités (appelé axiomatisation équationnelle de la classe).

Exemple

Un monoïde est un ensemble E muni d'une loi interne * associative et d'un élément neutre. Ainsi, pour tous éléments x, y, z d'un monoïde, les équations suivantes sont vérifiées :

(x * y) * z = x * (y * z)

x * e = x

e * x = x

De plus, ces trois équations caractérisent la notion de monoïde. Ainsi, la classe des monoïdes est une variété, puisqu'elle est définie par ces trois équations.

Théorème HSP

D'après la définition, toute variété K vérifie :

(H) toute image par homomorphisme d'un élément de K est dans K ;
(S) toute sous-structure d'un élément de K est dans K ;
(P) tout produit direct d'éléments de K est aussi dans K.

Le théorème HSP de Garrett Birkhoff (1935)[1]^,[2] énonce que la réciproque est vraie : toute classe stable par homomorphismes, sous-structures et produits est équationnelle.

Article connexe

Théorème des variétés d'Eilenberg

Notes et références

Birkhoff, G. (Oct 1935), "On the structure of abstract algebras", Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 31 (4): 433–454
(en) J. S. Oliveira et G.-C. Rota, Selected Papers on Algebra and Topology by Garrett Birkhoff, Springer Science & Business Media, 1^er janvier 1987 (ISBN 978-0-8176-3114-7, lire en ligne)

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[1] Birkhoff, G. (Oct 1935), "On the structure of abstract algebras", Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 31 (4): 433–454

[2] (en) J. S. Oliveira et G.-C. Rota, Selected Papers on Algebra and Topology by Garrett Birkhoff, Springer Science & Business Media, 1^er janvier 1987 (ISBN 978-0-8176-3114-7, lire en ligne)