Structure presque complexe

Une structure presque complexe J sur une variété différentielle M est un champ d'endomorphismes J, c'est-à-dire une section globale du fibré vectoriel ${\displaystyle \mathrm {End} (TM)}$, vérifiant :

${\displaystyle \forall x\in M,J_{x}^{2}=-\mathrm {Id} _{T_{x}M}}$

Une variété différentielle munie d'une structure presque complexe est appelée une variété presque complexe.

Théorème : L'existence d'une structure presque complexe J sur une variété différentielle M implique que M soit de dimension paire, disons 2n. De plus, il existe une unique orientation sur M telle que ...

Donc, pour qu'il existe une structure presque complexe, il faut que la variété soit de dimension paire et orientée. Mais cette condition à elle seule ne suffit pas :

Théorème : L'existence d'une structure presque complexe sur une variété différentielle de dimension paire orientable équivaut à la réduction du groupe structural du fibré tangent de ${\displaystyle \mathrm {GL} (2n,\mathbb {R} )}$ à ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$.

Les seules sphères à admettre une structure presque complexe sont :

• La sphère ${\displaystyle S^{2}}$, vue comme le compactifié de ℂ.
• La sphère ${\displaystyle S^{6}}$, vue comme la sphère unité des octonions imaginaires.

Algèbre linéaire : un opérateur linéaire ${\displaystyle A\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$ vérifiant l'identité ${\displaystyle A^{2}=-\mathrm {I} _{n}}$ se réduit sur ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$. Il admet deux espaces propres, ${\displaystyle E^{+}}$ et ${\displaystyle E^{-}}$, de valeurs propres respectives ${\displaystyle i}$ et ${\displaystyle -i}$.

Structures presque complexes :

Les formes différentielles sont les sections des produits extérieurs du fibré cotangent.

• Structure hermitienne
• Algèbre linéaire
• Géométrie symplectique
• Structure presque quaternionique

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