Variation d'une mesure

En mathématiques et plus particulièrement en théorie de la mesure, la variation est une mesure réelle positive associée à une mesure signée ou complexe.

Ne doit pas être confondu avec la variation totale d'une fonction.

Définition

Mesure signée

Définition (variation d'une mesure signée)  Soit une mesure signée sur un espace mesurable . Notons la décomposition de Jordan de . La variation de est alors l'application .

Mesure complexe

Définition (variation d'une mesure complexe)  Soit une mesure complexe sur un espace mesurable . La variation de est l'application définie par

pour tout .

Il est équivalent, dans la définition de la variation d'une mesure complexe, de prendre le supremum sur l'ensemble des partitions dénombrables, au lieu de finies[1].

Les deux définitions précédentes, pour les mesures signées et complexes, ne sont pas incompatibles. En effet, il s'avère qu'elles coïncident pour les mesures signées finies[2].

Propriétés

  • Si est une mesure réelle positive, alors .
  • La variation d'une mesure signée ou complexe est toujours une mesure réelle positive. De plus, la variation d'une mesure complexe est une mesure finie[2].
  • Si est une mesure complexe sur , alors est la plus petite mesure réelle positive satisfaisant [2].
  • Soit une mesure signée ou complexe sur et . Alors si et seulement si tout sous-ensemble -mesurable de vérifie . Autrement dit, est nul pour si et seulement si est totalement nul pour [2].
  • Si est une mesure signée ou complexe et est un scalaire, alors .
  • Si sont deux mesures complexes sur le même espace mesuré, alors . L'égalité n'est pas forcément atteinte, en effet, est un contre exemple[3].
  • Soit une mesure réelle positive sur et une fonction -intégrable à valeurs réelles ou complexes. Si on pose
alors[1]
.

Variation totale

Définition (variation totale)  Soit une mesure signée ou complexe sur un espace mesurable . La variation totale de est la quantité .

L'ensemble des mesures signées finies (resp. mesures complexes) sur est un espace vectoriel réel (resp. complexe) où la variation totale définit une norme. Cela justifie la notation et explique pourquoi on trouve parfois l'emploi du terme « norme en variation totale » ou « norme de la variation totale » pour désigner la variation totale.

De plus l'ensemble des mesures signées finies et l'ensemble des mesures complexes sur munis de la norme en variation totale sont des espaces de Banach.

Références

  1. Walter Rudin, Analyse réelle et complexe : cours et exercices, Paris, Dunod, 453 p. (ISBN 978-2-10-004004-9), p. 149
  2. Samuel Nicolay, « Mesure », sur http://www.afaw.ulg.ac.be/, 2019/2020, p. 85
  3. (en) « Total variation of sum of measures », sur math.stackexchange.com,

Voir aussi

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