Variation d'une mesure

• Si ${\displaystyle \nu }$ est une mesure réelle positive, alors ${\displaystyle \vert \nu \vert =\nu }$.
• La variation d'une mesure signée ou complexe est toujours une mesure réelle positive. De plus, la variation d'une mesure complexe est une mesure finie[2].
• Si ${\displaystyle \mu }$ est une mesure complexe sur ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$, alors ${\displaystyle \vert \mu \vert }$ est la plus petite mesure réelle positive ${\displaystyle \nu }$ satisfaisant ${\displaystyle \vert \mu (A)\vert \leq \nu (A),\,\forall A\in {\mathcal {A}}}$[2].
• Soit ${\displaystyle \rho }$ une mesure signée ou complexe sur ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ et ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$. Alors ${\displaystyle \vert \rho \vert (A)=0}$ si et seulement si tout sous-ensemble ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$-mesurable ${\displaystyle B}$ de ${\displaystyle A}$ vérifie ${\displaystyle \rho (B)=0}$. Autrement dit, ${\displaystyle A}$ est nul pour ${\displaystyle \vert \rho \vert }$ si et seulement si ${\displaystyle A}$ est totalement nul pour ${\displaystyle \rho }$[2].
• Si ${\displaystyle \rho }$ est une mesure signée ou complexe et ${\displaystyle \lambda }$ est un scalaire, alors ${\displaystyle \vert \lambda \rho \vert =\vert \lambda \vert \vert \rho \vert }$.
• Si ${\displaystyle \mu _{1},\mu _{2}}$ sont deux mesures complexes sur le même espace mesuré, alors ${\displaystyle \vert \mu _{1}+\mu _{2}\vert \leq \vert \mu _{1}\vert +\vert \mu _{2}\vert }$. L'égalité n'est pas forcément atteinte, en effet, ${\displaystyle \mu _{1}=-\mu _{2}\neq 0}$ est un contre exemple[3].
• Soit ${\displaystyle \nu }$ une mesure réelle positive sur ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ et ${\displaystyle g}$ une fonction ${\displaystyle \nu }$-intégrable à valeurs réelles ou complexes. Si on pose

${\displaystyle \rho (A)=\int _{A}g(x)d\nu ~~~\forall A\in {\mathcal {A}}}$

alors[1]

${\displaystyle \vert \rho \vert (A)=\int _{A}\vert g\vert (x)d\nu ~~~\forall A\in {\mathcal {A}}}$.

L'ensemble des mesures signées finies (resp. mesures complexes) sur ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ est un espace vectoriel réel (resp. complexe) où la variation totale définit une norme. Cela justifie la notation ${\displaystyle \vert \vert \cdot \vert \vert _{VT}}$ et explique pourquoi on trouve parfois l'emploi du terme « norme en variation totale » ou « norme de la variation totale » pour désigner la variation totale.

De plus l'ensemble des mesures signées finies et l'ensemble des mesures complexes sur ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ munis de la norme en variation totale sont des espaces de Banach.

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