Vecteur isotrope

Soient E un espace vectoriel et f une forme bilinéaire symétrique sur E.

On dit qu'un vecteur x de E est isotrope (pour f[2]^,[3], ou pour la forme quadratique associée[4]) si f(x, x) = 0.

L'ensemble des vecteurs isotropes est appelé le cône isotrope. Il contient le noyau de f[4].

La forme bilinéaire est dite définie[2] — et la forme quadratique est dite anisotrope[5] — si 0 est son seul vecteur isotrope.

• Lorsque E est un espace vectoriel réel, si f (symétrique) est définie alors f ou –f est définie positive, c'est-à-dire que c'est un produit scalaire.En effet, si ni –f ni f n'est positive, il existe deux vecteurs x et y tels que f(x, x) = 1 et f(y, y) = –1, on peut poser z = ax + y et l'on constate que ${\displaystyle f(z,z)=a^{2}+2af(x,y)-1}$ est un polynôme du second degré de discriminant ${\displaystyle 4(f(x,y)^{2}+1)>0}$ ; il existe donc un réel ${\displaystyle a}$ tel que ${\displaystyle f(z,z)=0}$. D'autre part, z est non nul car x et y sont linéairement indépendants. Donc f n'est pas définie.
• Lorsque E est un espace vectoriel complexe de dimension supérieure ou égale à 2, f n'est jamais définie.Le raisonnement ci-dessus ne nécessite que de mineures adaptations.

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