Zeteticorum libri quinque

Viète résout, algébriquement, puis géométriquement, en mêlant le formalisme et la rhétorique les 22 problèmes suivants :

• sachant a et b donnés, déterminer x et y tels que

${\displaystyle ^{xy=a}}$ et ${\displaystyle ^{{x \over y}=b}}$

${\displaystyle ^{xy=a}}$ et ${\displaystyle ^{x^{2}+y^{2}=b}}$

${\displaystyle ^{xy=a}}$ et ${\displaystyle ^{x-y=b}}$

${\displaystyle ^{xy=a}}$ et ${\displaystyle ^{x+y=b}}$

${\displaystyle ^{x-y=a}}$ et ${\displaystyle ^{x^{2}+y^{2}=b}}$

${\displaystyle ^{x+y=a}}$ et ${\displaystyle ^{x^{2}+y^{2}=b}}$

Il montre l'identité remarquable : ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)}$ et l'utilise pour résoudre :

${\displaystyle ^{x+y=a}}$ et ${\displaystyle ^{x^{2}-y^{2}=b}}$

${\displaystyle ^{xy=a}}$ et ${\displaystyle ^{x^{2}-y^{2}=b}}$

${\displaystyle ^{xy=a}}$ et ${\displaystyle ^{x^{2}+y^{2}=b}}$

${\displaystyle ^{x=a}}$ et ${\displaystyle ^{x^{2}+y^{2}+xy=b}}$

${\displaystyle ^{x+y=a}}$ et ${\displaystyle ^{x^{2}+y^{2}+xy=b}}$

${\displaystyle ^{xy=a}}$ et ${\displaystyle ^{x^{2}+y^{2}+xy=b}}$

${\displaystyle ^{x^{2}-y^{2}=a}}$ et ${\displaystyle ^{x^{2}+y^{2}=b}}$

${\displaystyle ^{x^{3}-y^{3}=a}}$ et ${\displaystyle ^{x^{3}+y^{3}=b}}$

${\displaystyle ^{xy=a}}$ et ${\displaystyle ^{x^{3}-y^{3}=b}}$

${\displaystyle ^{xy=a}}$ et ${\displaystyle ^{x^{3}+y^{3}=b}}$

${\displaystyle ^{x+y=a}}$ et ${\displaystyle ^{x^{3}-y^{3}=b}}$

${\displaystyle ^{x+y=a}}$ et ${\displaystyle ^{x^{3}+y^{3}=b}}$

${\displaystyle ^{x-y=a}}$ et ${\displaystyle ^{x^{3}-y^{3}=b}}$

${\displaystyle ^{(x+y)(x^{2}+y^{2})=a}}$ et ${\displaystyle ^{x^{3}+y^{2}+xy=b}}$

${\displaystyle ^{xy=a(x-y)^{2}}}$ et ${\displaystyle ^{x^{2}-y^{2}=b}}$

Une partie de ces questions (de 1 à 8, la cinquième exceptée, ainsi que 17, 18) ont déjà été soulevées par Diophante. Néanmoins, Viète ne les exploite qu'afin de montrer l'application de sa méthode et comment se mène l'analyse spécieuse ; il livre également une exégétique numéreuse et une exégétique géométrique à la fin de chaque question.

Viète résout, algébriquement, puis géométriquement, en mêlant le formalisme et la rhétorique les 16 problèmes suivants qu'on traduit en langage moderne :

• sachant x,y et z, en progression géométrique (c'est-à-dire que ${\displaystyle ^{xz=y^{2}}}$); déterminez-les, pour a et b donnés, si :

${\displaystyle ^{y=a}}$ et ${\displaystyle ^{x-z=b}}$

${\displaystyle ^{y=a}}$ et ${\displaystyle ^{x+z=b}}$

Dans un triangle rectangle, de base x et de hauteur y, d'hypoténuse h, déterminez-les, pour a et b donnés, si :

${\displaystyle ^{y=a}}$ et ${\displaystyle ^{h-x=b}}$

Il fait remarquer au passage que ${\displaystyle x+h,y,x+h}$ sont alors en progression géométrique et l'utilise pour résoudre :

${\displaystyle ^{y=a}}$ et ${\displaystyle ^{x+h=b}}$

${\displaystyle ^{x-y=a}}$ et ${\displaystyle ^{h=b}}$

${\displaystyle ^{x+y=a}}$ et ${\displaystyle ^{h=b}}$

Il monte l'identité remarquable : ${\displaystyle 2h^{2}-(x-y)^{2}=(x+y)^{2}}$ ; puis que, deux nombres étant donnés ${\displaystyle x^{2},xy,y^{2}}$ sont en progression géométrique. Il propose alors de vérifier que le triangle de base x-y, d'hypoténuse x+y et de hauteur ${\displaystyle {\sqrt {x}}y}$ est rectangle.

Viète revient alors aux questions initiales ; sachant x,y et z, en progression géométrique ; déterminez-les, pour a et b donnés, si :

${\displaystyle ^{x=a}}$ et ${\displaystyle ^{x^{2}+y^{2}+z^{2}=b}}$

${\displaystyle ^{x+z=a}}$ et ${\displaystyle ^{x^{2}+y^{2}+z^{2}=b}}$

${\displaystyle ^{y=a}}$ et ${\displaystyle ^{x^{2}+y^{2}+z^{2}=b}}$

Viète fait remarquer au passage que dans ce cas : ${\displaystyle ^{(x^{2}+y^{2}+z^{2})+y^{2}=(x+z)^{2}}}$

Il passe alors a des problèmes comportant quatre grandeurs continuellement proportionnelles (x,y,z,t, tels que y=Ax,z=Ay,t=Az) et propose de les déterminer si a et b sont donnés et si

${\displaystyle ^{x=a}}$ et ${\displaystyle ^{x^{2}+y^{2}+xy=b}}$

${\displaystyle ^{t-x=a}}$ et ${\displaystyle ^{z-y=b}}$

${\displaystyle ^{t+x=a}}$ et ${\displaystyle ^{z+y=b}}$

Aucune de ces questions n'a été soulevée par Diophante. Dans ce livre, Viète commence à accélérer ses démonstrations, ramenant chaque fois qu'il le peut la construction de l'exégétque ou la discussion poristique à un cas déjà vu antérieurement. On y lit des maths en marche et Viète semble réellement avoir conscience de la formidable machine à résoudre qu'il vient de créer.

Viète résout, algébriquement, puis géométriquement, en mêlant le formalisme et la rhétorique les 20 problèmes suivants qu'on traduit en langage moderne :

• Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels ${\displaystyle ^{x^{2}+y^{2}=z^{2}}}$
• Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels ${\displaystyle ^{x^{2}+y^{2}=z^{2}+t^{2}}}$
• Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels ${\displaystyle ^{x^{2}+y^{2}=z^{2}+t^{2}}}$ sachant que ${\displaystyle ^{a^{2}\leq x^{2}\leq b^{2}}}$
• Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels ${\displaystyle ^{x^{2}-y^{2}=a}}$
• Montrer que dans un triangle rectangle de base b, de hauteur p, d'hypoténuse h, ${\displaystyle ^{p^{2}+(h-b)^{2}=2h(h-b)}}$
• Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels ${\displaystyle ^{x+y=a^{2},x+z=b^{2}}}$
• Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels ${\displaystyle ^{x+y=a^{2},x+z=b^{2}}}$
• Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels ${\displaystyle ^{x^{2}+xy=a^{2},yx+y^{2}=b^{2}}}$
• Montrer les égalités : ${\displaystyle ^{u(uv+v^{2})=v(uv+u^{2}=uv(u+v)}}$
• Montrer les égalités de surface des trois triangles rectlanges de base et de hauteur respéctives : ${\displaystyle ^{(2xy,t^{2}+ty),(2xt,y^{2}+ty),(yt,2x(y+t)}}$
• Déterminer trois triangles rectangles dont le produit des hauteurs est au produit des bases dans un rapport de carrés.
• Déterminer trois triangles rectangles dont la différence entre le produit des hauteurs et le produit des bases est un carré.
• Déterminer trois triangles rectangles dont la somme du produit des hauteurs et du produit des bases est un carré.
• Déterminer trois triangles rectangles dont le quotient du produit des hypoténuses par le produit des bases est un carré.
• Déterminer x,y,z en progression géométriques tels que ${\displaystyle ^{x+y=a^{2},y+z=b^{2}}}$
• Déterminer x,y,z,t en progression géométriques tels que ${\displaystyle ^{x^{3}-y^{3}=a,t^{3}+z^{3}=a}}$
• Déterminer x,y,z,t en progression géométriques tels que ${\displaystyle ^{x^{3}-y^{3}=a,t^{3}-z^{3}=a}}$