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Página 9: A Jóia dourada da Matemática

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A Jóia dourada da Matemática

Você já se perguntou se existe alguma relação entre a natureza e a matemática?
Se você tiver uma fotografia sua ou de alguém, onde é possível ver um rosto de frente, como na imagem abaixo, calcule as medidas e realize as seguintes divisões:   a/b , c/d y f/e .

Na grande maioria das pessoas, os resultados desta divisão deve dar mais ou menos 1,6. Fantástico não é verdade?

Imagem facial com medidas marcadas.

Não se trata de uma coincidência, a verdade é que nosso corpo possui alguns segredos da matemática. O Universo inteiro está estruturado com princípios matemáticos milenares. Para começar, vamos chamar de proporções todas as divisões iguais as que fizemos acima. No próximo exemplo, vamos calcular a proporção entre 8 e 4 . Para isso, devemos fazer a divisão entre  8 e 4 : 8/4=2  

Desta forma dizemos que a proporção entre  8  e 4 é 2 . Isto é o mesmo que dizer que 8 é duas vezes o número 4 . O conceito de proporção nos dá uma ideia de quantas vezes uma quantidade contém outra  

O que acabamos de explicar é a "Versão" aritmética do conceito de proporção. Existe também uma versão geométrica, onde um segmento é uma porção finita de uma reta. Para cada segmento que criamos podemos lhe dar um número em particular, ou seja, uma medida.

Proporção entre os segmentos a e b

Se criamos dois segmentos de medida   a e b , podemos dizer que a relação existente entre eles deve ser tirada através da divisão das suas medidas, esta divisão é, portanto, a proporção dos segmentos.

Agora vamos criar um segmento A  com 6 cm e do seu lado um outro segmento B  com 2 cm , é claro que a proporção entre estes dois segmentos é

                                                                          (6 cm)/(2 cm)=3

Dois pares de segmentos A razão entre cada par de segmentos é 3

Mas se criamos o segmento a  de  9 cm de longitude, com quantos centímetros deveremos criar o segmento b para que a proporção entre eles seja 3 ?

Você já deve saber que a resposta é 3   cm , assim teremos (9 cm)/(3 cm) = 3 e as proporções entre esses dois pares se manterão iguais: 

                                                          (6 cm)/(2 cm) = (9 cm)/(3 cm)

Usando este simples conceito, você entenderá uma das relações mais interessantes que possui a matemática com o mundo real. Falamos do número Phi ( varphi ), veja:

Agora, vamos considerar o segmento bar (pq) , conforme nos mostra a figura abaixo. Marcamos um ponto x no seu interior, e se você observar, além do segmento bar (pq)   agora temos outros dois, o a e o b . Deste maneira, podemos dizer que a + b é a longitude total do segmento bar (pq) .

Divisão do segmento de tal forma que as razões são iguais

Você acha que é possível escolher o ponto interior x , de maneira que as proporções (a+b)/a e a/b sejam iguais? Por exemplo, suponhamos que o segmento bar (pq) tenha uma longitude de 10 cm , se colocamos o ponto x  na sua metade, os segmentos a e b medirão 5 cm cada um. Se calculamos as proporções   (a+b)/a e a/b obteremos:

                                                        (a+b)/a=10/5=2   e  a/b=5/5=1

Como você pode perceber, as proporções  (a+b)/a e a/b não são iguais. Respondendo a pergunta feita anteriormente, sim é possível pôr o ponto  x  numa determinada posição para que as proporções mencionadas sejam iguais. Mas isto só é possível num determinado ponto do segmento onde as proporções sejam de aproximadamente 1,618... Esta proporção conhecemos como phi ( varphi ), proporção áurea ou proporção de ouro. Vejamos outras medidas do nosso corpo que também possuem a proporção áurea:

Silhueta humana com medidas que conservam a razão áurea

Estes são apenas alguns exemplos de como o varphi está presente no nosso corpo. Mas ele também se manifesta na natureza, e para conferirmos isso precisamos conhecer uma importante figura geométrica que nos permite reconhecer padrões que estão em várias espécies de seres vivos como o náutilo ou na forma de algumas galáxias e ainda no formato dos furacões.

Esta figura é conhecida como espiral áurea e está presente na natureza em formas surpreendentes. 

Dada as propriedades do número áureo, não nos espanta saber que muitos o associaram a coisas divinas. Além disso, como podemos ver, vários artistas fizerem uso da proporção dourada para criarem suas obras. 

Como você notou, ainda que de forma sutil, a relação entre a matemática e a natureza é fascinante. Aqui apresentamos exemplos simples que servem para mostrar como o ( varphi ) está presente em nossas vidas sem que notemos. 

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