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Além de saber se a divisão tem ou não propriedades como a associativa ou a comutativa, é importante saber outras coisas sobre ela.
Talvez você já tenha ouvido falar que a divisão e a multiplicação são operações inversas, agora veremos por que isso é assim.
Lembre-se que o símbolo , que é usado para representar a multiplicação, é interpretado como "vezes". Assim, quando multiplicamos (por um natural), o que fazemos é aumentar uma determinada quantidade.
O expressão significa "duas vezes seis", e neste caso, por exemplo, estamos aumentando o número duas vezes, ou seja, estamos dobrando o seis: . Por outro lado, quando dividimos (por um natural) o que estamos fazendo é distribuir uma quantidade em várias partes iguais. A expressão representa cada uma das partes resultantes de quando repartimos doze em duas partes iguais, reduzimos a quantidade doze pela metade: .
Em outras palavras: duplicar (multiplicar por dois) é o contrário de repartir pela metade (dividir em dois), triplicar (multiplicar por três) é o contrário de repartir por três (dividir por três), etc.
O que acontece se dividimos e, em seguida, multiplicamos pelo mesmo número? Observe, façamos a operação :
Primeiro dividimos seis por dois, resultando em . Em seguida, multiplicamos esse resultado por dois, ou seja, .
A resposta final é o mesmo número com o qual iniciamos, o . Agora veja o que acontece quando multiplicamos e, em seguida, dividimos pelo mesmo número. Vamos começar novamente pelo seis:
Multiplicamos primeiros seis vezes dois, que nos dá como resultado. Em seguida, dividimos esse resultado pelo mesmo número multiplicado antes, o dois: .
Como você pode ver, em ambos os casos o resultado foi o número inicial: o seis.
Se multiplicamos e dividimos pelo mesmo número (ou vice-versa), as operações se anulam. É por isso que dizemos que multiplicação e divisão, são operações opostas.
Observe que as seguintes divisões: , , , ou , sempre tem o mesmo resultado, todas dão zero. Para entender porque, interpretemos mais uma vez a expressão .
Isto significa que estamos distribuindo a quantidade por em partes iguais. Assim, a expressão , significa que estamos distribuindo zero unidades em sete partes iguais. Quantas unidades deve ter cada parte? Exatamente zero!
Sempre que dividimos zero por qualquer outro número teremos como resultado zero. Assim podemos dizer que, se é qualquer número diferente de zero:
Considere agora o resultado da expressão . Quantos grupos de zero podem ser formados com três unidades? Zero, um, dois, três, nenhum ou muitos?
Como é possível perceber, fazendo dois grupos de zero unidades não podemos formar três, por isso esta questão não tem sentido. Quando você vê uma divisão em que o divisor é zero, trata-se de um erro. Dizemos que a expressão não está definida para nenhum número .
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