Comment calculer le taux moyen de variation

Le taux moyen de variation permet de mesurer l’évolution d’une variable dans le temps. Son unité peut être un pourcentage, mais aussi toute autre unité toujours rapportée au temps (m/s, kg/j…) Cette appellation de taux de variation peut dans certaines circonstances changer et devenir taux de croissance (d’une plante ou d’un animal) ou vitesse, c’est pourquoi son abréviation change aussi (T_c, V…) Pour ne prendre qu’un exemple concret, le taux moyen de variation de la position d’un objet en mouvement est ce qu’on appelle communément sa vitesse.

Méthode 1

Méthode 1 sur 3:

Calculer une vitesse moyenne

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Apprenez la formule de calcul de la vitesse moyenne. Vous venez d’effectuer un parcours à pied, mais vous ne savez pas à quelle vitesse vous avez marché. Vous pourrez le savoir à condition d’avoir deux données : la distance du parcours et le temps mis. La vitesse moyenne ( $V$ $V$ ) d’un objet physique est le rapport de sa variation de position sur la variation de temps, ce qui, en termes mathématiques, s’écrit comme indiqué ci-après.
- $V={\frac {\Delta x}{\Delta t}}$ .
- Dans cette équation, $\Delta x$ représente la variation de position, soit la distance parcourue par l’objet. Quant au dénominateur $\Delta t$ , il représente la variation dans le temps, soit la durée du déplacement.
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Déterminez la position initiale de l’objet. Dans le calcul d’une vitesse moyenne, vous avez besoin de connaitre la variation de position, laquelle ne peut se calculer qu’en connaissant la position initiale de l’objet. Souvent, c’est ce qu’on appelle le « km 0 », mais ce n’est pas systématique, loin de là ^{[1]
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Source de recherche} !
- Prenons l’exemple du parcours que vous faites à pied chaque matin entre votre maison et votre école ou votre lieu de travail. Votre maison est le point de départ : c’est votre « km 0 ».
- Ce point de départ n’est pas forcément un point où la vitesse de l’objet est nulle. Vous êtes spectateur d’un grand prix de formule 1 et depuis les gradins, vous voulez savoir à quelle vitesse moyenne tourne votre pilote favori. Quand il passe devant vous, il est à pleine vitesse, non ? La ligne en face de vous est votre « km 0 ».
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Évaluez la distance entre le point de départ et le point d’arrivée. C’est ce qu’on appelle la variation de position, nécessaire à l’établissement de la vitesse moyenne. La précision de cette distance dépend de ce que vous mesurez. Si vous chronométrez un champion du 200 m, la précision est de quelques centimètres. Si vous chronométrez une voiture de Formule 1, vous n’êtes pas à un mètre près sur un tour qui fait, par exemple 5 800 m ^{[2]
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- Revenons à l’exemple de votre parcours entre la maison et l’école ou le lieu de travail. La distance peut être établie en faisant le parcours en voiture, sinon vous l’avez avec une application sur votre ordiphone qui mesure les distances parcourues. Disons que la distance est de 0,6 km.
- Vous êtes au grand prix de France et tout le monde sait qu’un tour de piste fait 5,8 km. Ce qui veut dire qu’une voiture qui franchit une première fois un repère commode devant vous et qui le refranchit au tour suivant a parcouru 5,8 km, à quelques mètres près.
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Mesurez le temps écoulé. Une vitesse moyenne ne peut se calculer sans connaitre la durée de déplacement. Celle-ci peut avoir une précision variable, tout dépend du phénomène que vous mesurez. Si vous chronométrez votre ami champion du 200 m, vous allez descendre au dixième, voire au centième de seconde, mais si vous mesurez la vitesse d’une voiture durant un grand prix, la seconde est suffisante ^{[3]
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Source de recherche}.
- Si vous calculez votre vitesse moyenne pour aller à l’école ou au travail, une montre suffit. Nous supposerons que vous mettez 15 minutes pour faire le trajet aller.
- Si vous voulez connaitre la vitesse de votre favori durant un grand prix, vous pouvez utiliser votre montre ou un chronomètre. Nous prendrons comme exemple sa Ferrari qui couvre un tour en 45 secondes.
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Calculez la vitesse moyenne. Une fois les deux variables connues, il ne vous reste plus qu’à faire l’application numérique avec la formule de la vitesse. Outre la position des variables, vous devez bien conserver les unités ^{[4]
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- Alors donc, vous avez parcouru ce matin 0,6 km (600 m) en 15 minutes (on voit que vous n’êtes pas pressé d’y aller !). Votre vitesse moyenne ( $V_{1}$ $V_{1}$ ) s’établit donc comme suit :
  - $V_{1}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}={\frac {0,6}{15}}=0,04\ km/min$ .
- Vous avez constaté que votre pilote favori couvrait 5,8 km en 104,3 secondes. La formule de sa vitesse moyenne ( $V_{2}$ $V_{2}$ ) est la même que précédemment et se présente ainsi :
  - $V_{2}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}={\frac {5,8\ km}{104,3\ s}}\approx 0,0556\ km/s$ .
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Changez éventuellement d’unité. Vous venez d’effectuer un calcul brut et il est fort possible que l’unité obtenue ne soit pas très parlante, comme des km/s. Pas de panique ! Il est possible d’en changer en multipliant par le bon facteur de conversion.
- Pour ne prendre que l’exemple de course de Formule 1, un bolide roule à
  x km/h et non à x km/s. Une heure est en fait 3 600 secondes (60 minutes de 60 secondes). 3 600 est le facteur de conversion pour passer des km/s aux km/h ^{[5]
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  Source de recherche}.
- $V_{2}=0,0556\ {\text{km/s}}\times 3\ 600\ {\text{s/h}}=200,16\ {\text{km/h}}$ .
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Méthode 2

Méthode 2 sur 3:

Calculer un taux moyen de croissance

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Comprenez bien ce qu’est un taux moyen de croissance. C’est un taux de variation concret, celui par exemple d’une plante qui grandit ou d’un animal qui prend du poids. Quelque part, c’est quand même une vitesse… de croissance ! Le temps est toujours sous-jacent. La formule d’un tel taux est simple ^{[6]
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- $TC={\frac {\Delta h}{\Delta t}}$ ou ${\frac {\Delta p}{\Delta t}}$ .
- Dans ces deux exemples, $h$ et $p$ représentent respectivement la taille et le poids. Quant à $t$ , il représente la durée d’observation.
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Fixez la durée d’observation du phénomène étudié. Comprenez bien qu’un bambou pousse en quelques jours, alors qu’un enfant ne grandit que sur des mois et des années. Si vous voulez que votre taux de croissance ait un sens, vous allez devoir choisir la durée de l’observation du phénomène, même s’il est possible qu’elle soit très courte ^{[7]
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- Imaginons une classe de primaire qui décide d’étudier la croissance de plants de haricots. La durée de l’expérience a été fixée à un mois à partir du moment où la germination commence.
- Imaginons aussi un zoo dans lequel serait né un éléphanteau orphelin dont on veut surveiller la croissance sur 90 jours.
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Calculez ou mesurez la valeur de départ. Pour un taux de croissance, vous devez avoir deux valeurs, celle du début de l’observation et celle de la fin ^{[8]
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Source de recherche}.
- Dans l’exemple des haricots, l’expérience commence à la germination et l’on considèrera que la taille du germe est de 0 cm, taille initiale donc.
- Dans l’exemple de l’éléphanteau, nous partirons de l’hypothèse qu’il pesait 120 kg à sa naissance, lequel poids devient le poids initial ^{[9]
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  Source de recherche}.
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Notez la taille ou le poids en fin d’observation. Au bout de la durée prévue d’observation, mesurez avec la même précision qu’au départ la taille ou le poids du sujet concerné ^{[10]
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- Les haricots ont bien poussé, puisqu’au bout d’un mois, ils atteignent une hauteur moyenne de 24 cm. Étant donné que la taille initiale était de 0 cm et la taille finale de 24 cm, on peut dire facilement que la croissance brute a été de 24 cm (24 - 0).
- Pour notre éléphanteau, lui aussi a bien profité, puisqu’au bout de 90 jours, il atteint le poids respectable de 320 kg.
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Utilisez la bonne formule. Un taux de croissance a une formule immuable, c’est la variation d’un phénomène sur une durée donnée. Cette formule est simple, il faut simplement veiller à ne pas inverser les valeurs.
- Pour l’exemple des haricots, le calcul du taux de croissance ( $TC_{h}$ $TC_{h}$ ) se présente comme suit :
  - $TC_{h}={\frac {24\ cm}{30\ j}}=0,8\ cm/j$
- Dans le cas de l’éléphanteau ( $TC_{e}$ $TC_{e}$ ), il faut calculer son gain de poids (mis en numérateur) sur la période étudiée, lequel sera rapporté à la durée (mise en dénominateur), ce qui donne :
  - $TC_{e}={\frac {320\ kg-120{\text{kg}}}{90\ j}}$
  - $TC_{e}={\frac {200\ kg}{90\ j}}$
  - $TC_{e}=2,22\ kg/j$
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Méthode 3

Méthode 3 sur 3:

Calculer le taux de variation d’une fonction

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Sachez ce qu’est une fonction. En mathématiques, une fonction est une relation mathématique entre deux ou plusieurs nombres. Concrètement, à un nombre donné correspond un autre nombre (image), les deux sont liés par la fonction. Les solutions de toute fonction peuvent être présentées graphiquement par un graphe (courbe), lequel peut être une droite, une sinusoïde, une parabole ou toute autre courbe plus complexe ^{[11]
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- Voici quelques exemples de fonctions courantes :
  - $f(x)=3x+4$ (fonction d’une droite) ;
  - $f(x)=sin(x)$ (fonction sinusoïdale) ;
  - $f(x)=x^{2}$ (fonction parabolique).
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Choisissez des valeurs de $x$ . Avec les fonctions, le taux moyen de variation est la pente entre deux points de la courbe. C’est pourquoi pour ce calcul, vous devez prendre deux abscisses (valeurs de $x$ $x$ ) afin de trouver les deux ordonnées associées ( $y$ $y$ ).
- En fonction de l’exercice, vous choisirez des valeurs de $x$ proches ou éloignées. Pour notre exemple, nous choisirons $x=0$ et $x=3$ , toutes autres valeurs du domaine de définition auraient été valables.
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Calculez les images de certaines abscisses. Le taux de variation de la fonction mesure en fait l’élévation de $y$ $y$ chaque fois que $x$ $x$ augmente d’une unité. Pour chacune des deux abscisses, calculez les images correspondantes, c’est-à-dire la valeur que prend $f(x)$ $f(x)$ pour chacune des abscisses ^{[12]
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- Reprenons la fonction $f(x)=x^{2}$ $f(x)=x^{2}$ . Prenez deux valeurs de $x$ $x$ , par exemple $x_{1}=0$ $x_{1}=0$ et $x_{2}=3$ $x_{2}=3$ . Les images respectives de ces deux valeurs sont :
  - $y_{1}=f(0)=0^{2}=0$
  - $y_{2}=f(3)=3^{2}=9$
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Calculez le taux moyen de variation de la fonction. Plus fréquemment appelé « coefficient directeur » ou plus simplement « pente », le taux de variation d’une fonction (notée $a$ $a$ ) est donné par la formule ci-dessous ^{[13]
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- $a={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$ .
- Dans cette équation, $y_{1}$ (ou $f(x_{1})$ ) est l’image de $x_{1}$ par la fonction. Par analogie, il en va de même pour $y_{2}$ ( $f(x_{2})$ ). Le dénominateur $x_{2}-x_{1}$ est la distance horizontale entre les deux abscisses choisies.
- Pour se résumer, $\Delta y$ est la variation des ordonnées, tandis que $\Delta x$ est celle des abscisses, la première est, pour le taux de variation, divisée par la seconde.
- Dans notre exemple, $y(x)=x^{2}$ $y(x)=x^{2}$ , nous cherchons le taux moyen de variation sur le seul intervalle [0,3], il se calcule comme suit :
  - $a={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {9-0}{3-0}}=3$ .
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Interprétez ce résultat. En théorie, ce taux de variation permet de savoir de combien augmente $y$ $y$ pour chaque augmentation de $x$ $x$ . Avec notre parabole d’équation $y(x)=x^{2}$ $y(x)=x^{2}$ , la courbe présente un minimum en (0,0) et passe par le point (3,9). Sur cet intervalle [0,3], la courbe n’est pas une droite, mais la pente que l’on obtient (3) est celle, théorique, entre ces deux points. En moyenne, à chaque augmentation d’une unité de $x$ $x$ , $y$ $y$ augmente de 3 unités ^{[14]
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- Le taux moyen de variation d’une fonction est toujours défini sur un intervalle donné : à chaque intervalle, un taux de variation ! Dans le cas la parabole d’équation $y=x^{2}$ , la pente est de 3 sur l’intervalle [0,3], tandis que sur l’intervalle suivant [3,6], ayant la même amplitude, elle est de 8,33.
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Conseils

Quand il y en a, vous devez être vigilant(e) aux unités que vous devez inscrire, quitte ensuite à les transformer en d’autres.
Grâce au calcul infinitésimal, il est possible de calculer un taux de variation instantané en calculant la dérivée de la fonction en un point donné, c’est-à-dire à un instant $t$ particulier. L’objectif est de prendre la variation de position la plus petite possible, tendant donc vers 0. Pour plus de détails, vous lirez avec grand profit cet article sur les vitesses instantanées.