Comment déterminer une asymptote oblique

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Une asymptote correspond à une droite qu'un polynôme (du moins sa représentation graphique) approche sans jamais toucher. Une asymptote peut être verticale, horizontale ou oblique. Une asymptote oblique correspond à une droite possédant une pente non nulle (il s'agirait sinon d'une asymptote horizontale) et non infinie (il s'agirait sinon d'une asymptote verticale). Tout polynôme admet une asymptote oblique si le degré du numérateur est supérieur au degré du dénominateur.

Étapes

1
Observez le numérateur et le dénominateur de votre polynôme. Assurez-vous que le degré du numérateur (en d'autres mots le plus grand exposant de votre numérateur) est supérieur au degré du dénominateur. Si cela est le cas alors le polynôme admet une asymptote oblique et elle peut être (facilement) déterminée.
- Jetez par exemple un coup d'œil à ce polynôme : x^2 + 5x + 2 / x + 3. Le degré du numérateur est supérieur au degré du dénominateur. En effet, le numérateur est un polynôme du second ordre (x^2) alors que le dénominateur est un polynôme du premier ordre. Il est donc possible de trouver une asymptote oblique pour ce polynôme. La représentation graphique de ce polynôme correspond à l'image ci-dessus.
2
Transformez la recherche de l'asymptote en un simple problème de division. Pour se faire, posez la division suivante : le numérateur correspond au dividende de votre division et le dénominateur correspond au diviseur de votre division.
- Dans l'exemple ci-dessous, on pose donc la division suivante : x^2 + 5x + 2 correspond à notre dividende et x + 3 correspond à notre diviseur.
3
Trouvez le premier facteur. Cherchez un facteur qui, multiplié par le terme de plus haut degré du dénominateur correspond exactement au terme de plus haut degré du numérateur. Vous obtiendrez ainsi le premier facteur du quotient.
- Dans notre exemple nous cherchons donc un facteur qui, lorsque multiplié x, correspondrait exactement au terme de plus au degré du numérateur : x^2. Dans notre exemple, ce facteur est : x. Inscrivez donc x dans l'espace réservé au quotient (en dessous du diviseur).
4
Multipliez le diviseur par ce premier facteur que vous venez de déterminer. Une fois le résultat de la multiplication obtenue, inscrivez-le en dessous du dividende.
- Dans notre exemple, le résultat du produit de x par x + 3 est : x^2 + 3x. Nous inscrivons donc ce résultat en dessous du dividende.
5
Soustraire. Il vous faut maintenant soustraire le résultat que vous venez d'obtenir au dividende de la division. Tracez une ligne et inscrivez le résultat de votre soustraction en dessous de cette ligne.
- Dans l'exemple ci-dessous, il faut donc soustraire x^2 + 3x à x^2 + 5x + 2. On trace ensuite une ligne et l'on inscrit le résultat (2x + 2) en dessous de cette ligne.
6
Continuez la division. À chaque nouvelle itération, le résultat de la soustraction devient le nouveau diviseur de la division.
- On reprend l'exemple ci-dessus. On remarque qu'en multipliant par 2 le terme de plus haut degré du diviseur (x) on obtient exactement la valeur du terme de plus haut degré du (nouveau) dividende (2x + 2). On ajoute alors 2 au quotient actuel de notre division en plaçant un signe « + » entre le x précédemment écrit et le 2 que l'on vient d'écrire. Notre quotient vaut donc pour l'instant : x + 2. Puis on écrit à nouveau le résultat du produit entre le facteur que l'on vient de déterminer (2) et le diviseur en dessous du dividende et on effectue à nouveau la soustraction entre ces deux termes comme expliqué ci-dessus.
7
Arrêtez-vous lorsque vous obtenez l'équation d'une droite. Il n'est pas nécessaire d'effectuer la division jusqu'au bout. Arrêtez-vous lorsque vous obtenez l'équation d'une droite, de la forme ax + b où a et b sont des nombres quelconques.
- Dans notre exemple, il est donc inutile de continuer plus loin. L'équation de notre droite est : x + 2.
8
Dessinez la droite et la représentation graphique de votre polynôme sur le même graphique. Vous pourrez ainsi vérifier que l'équation de droite obtenue correspond bien à une asymptote oblique de votre polynôme.
- Dans notre exemple, nous avons donc représenté la droite d'équation x + 2 sur le même graphique où nous avions déjà dessiné la représentation graphique de notre polynôme. On voit que la droite s'approche de la représentation graphique du polynôme sans jamais la toucher. x + 2 est donc bien une asymptote oblique de notre polynôme.
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Conseils

Essayez de ne pas tracer un axe des abscisses trop petit. Il sera ainsi facile de voir que votre asymptote s'approche de votre polynôme sans jamais le toucher.
Les asymptotes sont très utilisées en ingénierie : elles permettent en effet d'approximer un comportement non linéaire par une droite qui elle, possède un comportement linéaire et est donc beaucoup plus facile à étudier.