Comment factoriser les binômes

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En algèbre, un binôme est simplement la somme de deux termes dont l’un (ou les deux) contient l’inconnue ( $x$ ). Dans la grande majorité des cas, il se présente ainsi : $ax+b$ , $b$ étant non nul et pouvant être négatif. Dans une équation impliquant un binôme, il peut être utile, pour faciliter dans certains cas la résolution, de factoriser le binôme, c’est-à-dire de le présenter sous la forme d’un produit de facteurs.

Partie 1

Partie 1 sur 3:

Factoriser des binômes

1
Sachez factoriser. Tout nombre peut être décomposé en un produit de facteurs et un binôme peut très bien contenir des termes divisibles par un ou plusieurs de ces facteurs premiers. Le facteur d’une valeur V est un nombre capable de diviser parfaitement V. C’est ainsi que 6 peut être divisé par 1, 2, 3 et 6, ces quatre valeurs sont les facteurs (premiers) de 6.
- Les facteurs premiers de 32 sont : 1, 2, 4, 8, 16 et 32.
- En fait, tout nombre a deux facteurs obligés : 1 et lui-même. Tous les nombres qui n’admettent aucun autre facteur sont dits « premiers », comme 3, 5 ou 13.
- Un facteur est toujours un entier qui divise parfaitement un autre nombre. Bien sûr, vous pouvez diviser 32 par 3,564 ou 21,4952, vous obtiendrez un nombre décimal, non un facteur.
2
Arrangez éventuellement le binôme. Un binôme est la somme de deux monômes, dont l’un au moins contient l’inconnue. Cette dernière peut être à la puissance 1 ( $3x-5$ $3x-5$ ), mais aussi à une autre puissance, comme $x^{2}$ $x^{2}$ ou $5y^{4}$ $5y^{4}$ . Il est de coutume, mais ce n’est pas une obligation, d’ordonner les termes contenant l’inconnue par puissance décroissante, ce qui donne par exemple :
- $6+3t$ → $3t+6$
- $9x^{2}+3x^{4}$ → $3x^{4}+9x^{2}$
- $-2+x^{2}$ $-2+x^{2}$ → $x^{2}-2$ $x^{2}-2$
  - Durant ce réaménagement du binôme, faites bien attention au signe du terme déplacé, les erreurs sont fréquentes.
3
Trouvez le plus grand commun diviseur (PGCD) des deux termes. Déterminez la plus grande valeur capable de diviser les deux termes du binôme. Pour cela, dressez la liste des facteurs de chacun des termes et prenez celui commun aux deux listes et le plus élevé.
- Prenons le binôme suivant : $3t+6$ $3t+6$ .
  - Les facteurs de 3 sont : 1 et 3.
  - Les facteurs de 6 sont : 1, 2, 3 et 6.
  - Le plus grand commun diviseur de 3 et 6 est 3.
4
Divisez chacun des termes du binôme par le PGCD. Si vous n’avez pas fait d’erreur, vous devriez pouvoir diviser chacun des termes du binôme. Le but n’est pas de faire disparaitre le PGCD, mais de le mettre en facteur. En divisant par le PGCD, vous allez obtenir selon les cas soit un binôme, soit un monôme.
- Prenons le binôme suivant : $3t+6$ .
- Trouvez le plus grand commun diviseur : c’est 3.
- Divisez chaque terme par ce PGCD : ${\frac {3t}{3}}+{\frac {6}{3}}=t+2$ .
5
Mettez le PGCD en facteur. Certes, vous avez divisé précédemment le binôme par le PGCD, mais pour que le binôme reste inchangé, vous vous devez de mettre le PGCD en facteur en l’inscrivant devant le binôme simplifié, lequel sera mis entre parenthèses, signe de la multiplication.
- Reprenons le binôme précédent : $3t+6$ .
- Le plus grand commun diviseur était 3.
- Vous avez divisé chaque terme par le PGCD : ${\frac {3t}{3}}+{\frac {6}{3}}=t+2$ .
- Remettez le PGCD en facteur : $3(t+2)$ .
- La factorisation est donc la suivante : $3(t+2)$ .
6
Faites la vérification en développant l’expression factorisée. Souvent, la factorisation n’est qu’une étape, aussi est-il bon de vérifier que vous avez du bon travail en développant le binôme factorisé. Pour cela, multipliez chacun des termes entre parenthèses par le facteur les précédant : vous devriez retomber sur le binôme de départ. Prenons un exemple concret : $12t+18$ $12t+18$ .
- Le binôme est bien présenté : $12t+18$ .
- Trouvez le plus grand commun diviseur : $6$ .
- Divisez chaque terme par ce PGCD : ${\frac {18t}{6}}+{\frac {12t}{6}}=3+2t$ .
- Remettez le PGCD en facteur : $6(3+2t)$ .
- Vérifiez votre réponse : $(6\times 3)+(6\times 2t)=18+12t=12t+18$ .
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Partie 2

Partie 2 sur 3:

Factoriser des binômes pour résoudre une équation

1
Factorisez pour résoudre une équation. Les binômes vivent rarement seuls, ils sont souvent impliqués dans des équations, parfois sous des formes tarabiscotées. Prenons l’équation suivante : $5y-2y^{2}=-3y$ $5y-2y^{2}=-3y$ . La résoudre passera, comme souvent, par une factorisation.
- Nous avons donc notre binôme de départ : $5y-2y^{2}=-3y$ .
- Souvenez-vous qu’un binôme ne compte que deux termes. S’il y en a davantage, vous êtes face à un polynôme et nous vous conseillons de lire cet article.
2
Groupez tous les termes d’un seul côté de l’équation. L’autre membre sera alors égal à 0. Pour cela, ajoutez ou soustrayez certaines expressions mathématiques de façon à annuler tel ou tel terme d’un des côtés afin d’obtenir un produit de facteurs égal à 0. Les solutions seront toutes les valeurs qui annulent les deux éléments du produit.
- Prenons le binôme suivant : $5y-2y^{2}=-3y$ .
- Ramenez un des membres à 0 : $(5y-2y^{2})+3y=(-3y)+3y$ $(5y-2y^{2})+3y=(-3y)+3y$ .
  - Ordonnez le membre de gauche : $-2y^{2}+8y=0$ .
3
Factorisez le binôme. Pour résoudre l’équation, vous devez factoriser le binôme. Trouvez le plus grand commun diviseur du binôme et mettez-le, comme précédemment, en facteur.
- Reprenons le binôme précédent : $5y-2y^{2}=-3y$ .
- Vous l’avez réduit sous la forme : $-2y^{2}+8y=0$ .
- Factorisez le binôme par $2y$ : $2y(4-y)=0$ .
4
Décomposez l’équation. Quand $a(y+b)=0$ $a(y+b)=0$ , cela signifie que $a=0$ $a=0$ ou que $(y+b)=0$ $(y+b)=0$ . Dans notre exemple, pour que le produit $2y(4-y)$ $2y(4-y)$ soit égal à 0, il faut que $2y=0$ $2y=0$ ou que $y-4=0$ $y-4=0$ ou les deux en même temps. Inscrivez ces deux égalités séparément sous votre équation première.
- Prenons le binôme suivant : $5y-2y^{2}=-3y$ .
- Ramenez un des membres à 0 : $8y-2y^{2}+3y=0$ .
- Factorisez : $2y(4-y)=0$ .
- Décomposez le produit de facteurs :
  - $2y=0$ ,
  - $4-y=0$ .
5
Résolvez chacune des équations. Vous trouverez ainsi les racines de l’équation. En fonction du binôme de départ, vous aurez une ou plusieurs solutions. Les facteurs du produit étant différents, attendez-vous à avoir des solutions différentes. Résolvez les deux petites équations.
- $2y=0$ $2y=0$
  - ${\frac {2y}{2}}={\frac {0}{2}}$
  - $y=0$
- $4-y=0$ $4-y=0$
  - $4-y+y=0+y$
  - $y=4$
6
Vérifiez vos réponses. Vous avez trouvé des racines, mais vous devez les tester dans l’équation de départ. Si vous avez deux solutions, faites deux séries de calculs en remplaçant l’inconnue (ici $y$ $y$ ) dans l’équation de départ par les valeurs trouvées. Vous devez vérifier deux solutions : $y=0$ $y=0$ et $y=4$ $y=4$ .
- $5(0)-2(0)^{2}=-3(0)$ $5(0)-2(0)^{2}=-3(0)$
  - $0+0=0$
  - $0=0$ : l’égalité est vérifiée, votre solution est correcte.
- $5(4)-2(4)^{2}=-3(4)$ $5(4)-2(4)^{2}=-3(4)$
  - $20-32=-12$
  - $-12=-12$ : l’égalité est également vérifiée, cette solution est aussi correcte.
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Partie 3

Partie 3 sur 3:

Résoudre des problèmes de binômes complexes

1
Mettez en facteur des expressions avec inconnue. Vous pouvez même mettre plusieurs inconnues en facteur et même des inconnues élevées à une puissance. Dès lors qu’une expression, comme $x^{2}$ $x^{2}$ , divise tous les termes du binôme, elle peut être mise en facteur. Plus loin, il est possible de factoriser une partie seulement d’une inconnue élevée à une puissance. Ainsi, $x^{4}$ $x^{4}$ est la forme abrégée de $x\times x\times x\times x$ $x\times x\times x\times x$ . Cela signifie que vous pouvez mettre en facteur $x^{4}$ $x^{4}$ ou seulement $x^{2}$ $x^{2}$ ou $x$ $x$ .
- Avec $t^{2}+2t$ , vous pouvez factoriser $t$ , mais non $t^{2}$ :
  $t^{2}+2t=t(t+2)$ .
- Dans le même ordre d’idées, vous pouvez factoriser une puissance plus grande. Ainsi, dans le binôme $x^{2}+x^{4}$ , chacun des termes est divisible par $x^{2}$ , ce qui fait que : $x^{2}+x^{4}=x^{2}(1+x^{2})$ .
2
Réduisez vos binômes. Parfois, des expressions ne semblent pas être des binômes, alors qu’elles le sont. C’est le cas de l’expression : $6+2x+14+3x$ $6+2x+14+3x$ . Certes, il y a quatre termes, mais ils peuvent se réduire à deux. Il suffit de grouper tous les termes en $x$ $x$ et toutes les constantes. Vous additionnerez donc $2x$ $2x$ et $3x$ $3x$ , puis les constantes, 6 et 14 et vous obtenez un binôme que vous factoriserez dans la foulée.
- L’expression de départ est donc : $6+2x+14+3x$ .
- Regroupez l’inconnue et les constantes : $2x+3x+14+6$ .
- Regroupez les termes de même nature : $5x+20$ .
- Trouvez le plus grand commun diviseur : $5(x)+5(4)$ .
- Factorisez : $5(x+4)$ .
3
Pensez toujours à une identité remarquable. Pensez-y en particulier quand votre binôme est la différence de deux carrés : $9=3\times 3$ $9=3\times 3$ est un carré, comme $x^{2}=x\times x$ $x^{2}=x\times x$ ou encore $144t^{2}=12t\times 12t$ $144t^{2}=12t\times 12t$ . Si donc, vous vous trouvez en face d’un binôme qui se présente sous la forme $a^{2}-b^{2}$ $a^{2}-b^{2}$ , sachez qu’il est possible de le factoriser très rapidement avec une formule toute faite.
- L’identité remarquable de la différence des carrés est la suivante :
  $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$ .
- Prenons le binôme suivant : $4x^{2}-9$ .
- Trouvez les racines carrées :
  - ${\sqrt {4x^{2}}}=2x$ ,
  - ${\sqrt {9}}=3$ .
- Factorisez le binôme de départ avec ces carrés : $4x^{2}-9=(2x+3)(2x-3)$ ^{[1]
  X
  Source de recherche}.
4
Même avec des cubes, pensez toujours à une identité remarquable. Tout comme il y a une formule toute faite pour les différences de carrés, il en existe une pour les différences de cubes (de forme $a^{3}-b^{3}$ $a^{3}-b^{3}$ ). Pour arriver au produit, vous devez trouver la racine cubique des deux termes.
- L’identité remarquable de la différence des cubes est la suivante :
  $a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$ .
- Prenons le binôme suivant : $8x^{3}-27$ .
- Trouvez les racines cubiques :
  - ${\sqrt[{3}]{8x^{3}}}=2x$ ,
  - ${\sqrt[{3}]{27}}=3$ .
- Factorisez le binôme de départ avec ces cubes :
  $8x^{3}-27=(2x-3)(4x^{2}+6x+9)$ ^{[2]
  X
  Source de recherche}.
5
Sachez que la somme de deux cubes est une identité remarquable. C’est un des avantages des cubes qui n’existe pas pour les carrés. Le binôme $a^{3}+b^{3}$ $a^{3}+b^{3}$ peut se factoriser très rapidement grâce à une autre identité remarquable. La formule est la même, à un signe près (un « + » est remplacé par un « - »). Que ce soit pour les carrés ou les cubes, vous vous devez de connaitre ces identités pour vous faciliter le travail.
- L’identité remarquable de la somme de cubes parfaits est la suivante : $a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$ .
- Prenons le binôme suivant : $8x^{3}+27$ .
- Trouvez les racines cubiques :
  - ${\sqrt[{3}]{8x^{3}}}=2x$ ,
  - ${\sqrt[{3}]{27}}=3$ .
- Factorisez le binôme de départ avec ces cubes : $8x^{3}+27=(2x+3)(4x^{2}-6x+9)$ ^{[3]
  X
  Source de recherche}.
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Conseils

Hélas ! Tous les binômes ne sont pas factorisables. Certains sont pour ainsi dire irréductibles.
Lors de la factorisation, il vous arrivera peut-être de ne pas trouver tout de suite le PGCD, mais un facteur plus petit. Ce n’est pas grave, puisqu’après factorisation, vous vous apercevrez que vous pouvez encore factoriser, ce que vous ferez. Admettons que vous ne voyiez pas du premier coup d’œil que le PGCD de 32 et 16 est 16. Vous avez, par exemple, trouvé 8, mais vous voyez un peu plus tard que vous auriez encore pu factoriser par 2, vous parvenez quand même à factoriser au maximum par 16, mais en deux étapes. Le résultat est le même.
Il est des cas particuliers de monômes qui sont à la fois des carrés et des cubes, comme $x^{6}$ ou $x^{12}$ . Là encore, si vous en rencontrez un accompagné d’un carré ou d’un cube, vous pourrez appliquer l’une ou l’autre des identités évoquées plus haut. C’est ainsi que dans $x^{6}-64$ , vous avez un carré ou un cube avec $x^{6}$ et 64 est le carré de 8, comme le cube de 4. En fonction du travail demandé, vous appliquerez l’identité des carrés ( $x^{6}-64=(x^{3}-8)(x^{3}-8)$ ) ou celle des cubes
( $x^{6}-64=(x^{2}-4)(x^{4}+4x^{2}+16)$ ).