Comment lire une échelle logarithmique

Toute personne qui a fait des études secondaires est capable de construire et de lire une courbe avec deux axes gradués. Souvent, l'échelle choisie en ordonnées est linéaire (ou arithmétique), c'est-à-dire qu'elle augmente de façon régulière. Il peut cependant arriver que le phénomène à représenter présente cette particularité d'avoir une grande amplitude, un grand écart entre les valeurs extrêmes et dans ce cas-là, une échelle régulière ne convient pas : il faut une échelle logarithmique. C'est ainsi que pour représenter le cours du dollar en reichsmarks (RM) entre 1922 et 1923, cours qui va de 48 à 1 000 000 000 000 RM, il faut cette échelle spéciale ^{[1]
X
Source de recherche}. Elle permet de représenter sur un même graphique aussi bien de petites valeurs que des grandes, l'inconvénient est que l'espace entre deux graduations est impossible à déterminer sans calculs.

Méthode 1

Méthode 1 sur 2:

Lire les graduations d'un repère mathématique

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Sachez faire la différence entre deux types de graphiques. Certains graphes sont réalisés sur des repères logarithmiques, d'autres semi-logarithmiques. En fonction des données, les deux axes peuvent adopter une même échelle logarithmique ou un seul. Ainsi, vous pouvez avoir un axe des y avec une graduation logarithmique, celui des x ayant une graduation classique ^{[2]
X
Source de recherche}. Le choix d'une échelle logarithmique ne s'impose que si vous avez des valeurs dont l'amplitude est extrême. Si les données sont dans ce cas de figure, alors, les axes seront logarithmiques.
- À la différence des repères linéaires, ayant des espacements réguliers sur les deux axes, une échelle logarithmique donne lieu à des graduations espacées irrégulièrement. Pour résumer, en fonction du phénomène à représenter, vous utiliserez deux repères (x et y) linéaires ou alors un repère linéaire pour la variable indépendante (x) et un autre, logarithmique, pour le phénomène lui-même (y, le graphe est dit « semi-logarithmique ») ou enfin deux repères logarithmiques (cas plus rares).
- Ainsi, le graphe de la fonction $y={\sqrt {x}}$ , ou de toute autre fonction contenant une racine carrée, peut être représenté avec une échelle linéaire, semi-logarithmique ou entièrement logarithmique. Avec la première échelle, vous n'aurez qu'une moitié de parabole, mais vous ne pourrez pas voir ce qui se passe quand x et y sont très petits ou très grands. Si vous optez pour une échelle logarithmique sur les deux axes, vous aurez une meilleure vision et une lecture plus précise de la courbe, laquelle est à peu près une ligne droite ^{[3]
  X
  Source de recherche}.
- Si les deux variables présentent chacune une grande amplitude, vous utiliserez deux graduations logarithmiques. Ainsi, si le phénomène à représenter présente des valeurs en milliards (y) sur une période en millions d'années (x), prenez une même échelle logarithmique pour les deux, mais l'espace entre deux graduations sera plus grand pour l'axe des années.
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Sachez lire les graduations logarithmiques. Sur du papier logarithmique, il est des traits plus épais que d'autres : ce sont les puissances successives de la base choisie, à savoir les puissances de 10 (logs décimaux) ou les puissances de $e$ $e$ (logs népériens).
- $e$ est une constante, aussi appelée « nombre d'Euler » ou « constante de Néper », qui fonde les logarithmes naturels. Sa valeur a été calculée par ces deux mathématiciens et vaut donc environ 2,71828 ^{[4]
  X
  Source de recherche}. Dans l'article, il ne sera question que des logarithmes décimaux (log(x)), mais la même chose serait possible avec les logarithmes népériens (ln(x)).
- Les logarithmes décimaux reposent sur les puissances de 10. Au lieu d'avoir une échelle linéaire (1, 2, 3, 4… ou 10, 20, 30, 40…), les graduations d'un repère logarithmique sont les puissances successives de 10, avec un même écart entre chaque graduation. Ainsi, les quatre premières graduations de l'axe sont : $10^{1},10^{2},10^{3},10^{4}$ ^{[5]
  X
  Source de recherche}…
- Les principales divisions d'un papier logarithmique de base $e$ , signalées par un trait plus épais, sont appelées « cycles ». Avec un quadrillage en puissances de 10, on parle alors de « décades ».
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Remarquez l'écart non proportionnel entre les graduations. Cela vaut pour les décades comme pour les graduations intermédiaires. À y regarder de plus près, lors des premières utilisations, vous ne saisirez pas la logique qui préside à ces écarts. C'est ainsi que le trait pour 20 est au tiers de la distance entre 10 et 100, ce qui est tout, sauf linéaire ^{[6]
X
Source de recherche}.
- Les graduations intermédiaires sont placées en fonction de leur valeur logarithmique. Admettons que vous ayez mis 10 sur la première graduation majeure (à 1 cm de l'axe des abscisses) et 100, sur la suivante (à 2 cm du même axe) et qu'entre les deux, il y a un écart de 1 cm, voici comment se disposeront les graduations intermédiaires (20, 30, 40…) :
  - $log(10)=1\ cm$
  - $log(20)=1,3\ cm$
  - $log(30)=1,48\ cm$
  - $log(40)=1,60\ cm$
  - $log(50)=1,70\ cm$
  - $log(60)=1,78\ cm$
  - $log(70)=1,85\ cm$
  - $log(80)=1,90\ cm$
  - $log(90)=1,95\ cm$
  - $log(100)=2\ cm$
- Si similitude il devait y avoir, vous la trouveriez dans les espaces entre les graduations intermédiaires : les espaces entre 10, 20, 30… sont les mêmes qu'entre 100, 200, 300… ou entre 1 000, 2 000, 3 000…
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Méthode 2

Méthode 2 sur 2:

Placer des points avec une échelle logarithmique

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Déterminez les échelles les mieux adaptées. Pour tracer un graphe, il faut deux échelles, une pour les abscisses, et souvent une échelle linéaire suffit, et une autre (celle du phénomène) pour les ordonnées qui peut être, selon les cas, logarithmique ou linéaire. Le plus souvent donc, le phénomène est sur l'axe des y, mais rien ne vous empêche, notamment pour des raisons de clarté, de le mettre sur l'axe des x. Dans les deux cas, la courbe sera identique, simplement, elle ne sera pas orientée de la même façon. Le choix de l'échelle dépend donc des données à représenter, mais aussi de l'analyse, précise ou plus générale, que vous comptez faire de la courbe.
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Graduez l'axe des x. Cet axe est généralement celui de la variable indépendante, celle sur laquelle vous avez un contrôle, car vous l'avez précisé dès le départ, par exemple une étude par tranches d'âge. Une variable indépendante n'est pas du tout influencée par le phénomène étudié et n'a qu'un seul lien avec lui, par exemple, une évolution dans le temps. Parmi les innombrables variables indépendantes, citons par exemple ^{[7]
X
Source de recherche} :
- des dates précises (années, mois…),
- un espace de temps,
- des tranches d'âge,
- des dosages croissants d'un même médicament.
3
Déterminez l'échelle de l'axe des ordonnées. Si vous avez des données extrêmes qui ne présentent pas un trop grand écart, utilisez une échelle linéaire (1, 2, 3… ou 10, 20, 30…). Si l'écart est gigantesque (par exemple, entre $4$ $4$ et $1~000~000$ $1~000~000$ ), optez pour une graduation logarithmique. Comme exemples de ces données exponentielles, citons :
- une explosion démographique,
- une inflation rapide des prix dans un pays en crise,
- un placement à intérêt composé.
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Graduez intelligemment votre axe logarithmique. Observez de près vos données et voyez si vous êtes obligé de partir de 0. Si vous avez des données dont la plus faible est de l'ordre du million et la plus forte de l'ordre du milliard, commencez votre graduation à $10^{6}$ . Les cycles suivants seront $10^{7},10^{8},10^{9}\ldots$
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Repérez l'abscisse du premier point. Vous avez tous vos couples de données sous la forme (variable indépendante, variable dépendante), il vous faut placer le premier point. Repérez sur l'axe des x la première variable indépendante, par exemple, une date ou un âge. Si vous débutez, le mieux est de mettre un petit point au crayon à l'endroit précis de l'axe des x, vous l'effacerez plus tard.
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Repérez l'ordonnée de votre premier point. Trouvez sur l'axe des y l'emplacement exact de la variable dépendante correspondant au point provisoire que vous venez de tracer. Admettons que vous ayez une échelle logarithmique décimale, repérez les deux graduations entre lesquelles s'insère votre valeur et placez cette dernière sur une des dix graduations intermédiaires. Ainsi, entre $10^{6}$ $10^{6}$ (un million) et $10^{7}$ $10^{7}$ (dix-millions), l'espace entre chaque fine ligne représente 1 000 000 unités ^{[8]
X
Source de recherche}.
- À titre d'exemple, la valeur $4~000~000$ se situera entre $1~000~000$ et $10~000~000$ , et sera la quatrième petite graduation (depuis le bas) au-dessus de $10^{6}$ . Avec une échelle logarithmique, $4~000~000$ est dans la moitié supérieure de l'intervalle. Si vous aviez pu la représenter avec une échelle linéaire, elle aurait été dans la moitié inférieure (en dessous de $5~000~000$ ).
- Ce qui se produit entre deux graduations, à savoir le rapprochement des traits vers le haut de l'intervalle, se reproduit à l'identique sur l'ensemble de l'échelle : c'est logique, c'est l'effet exponentiel.
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Placez les autres points. À l'intersection des deux lignes qui partent de vos deux points, placez un point. Opérez de la même façon, sans vous tromper dans les graduations, avec les autres couples de coordonnées. Quand vous avez fini, il ne vous reste plus qu'à relier les points entre eux et dans l'ordre : votre courbe est terminée.

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Avertissements

Lors d'un exercice d'interpolation, c'est-à-dire de lecture d'un point sur une courbe logarithmique, faites très attention à la base du logarithme utilisé : à graduations identiques, une échelle logarithmique décimale (base 10) ne donne pas les mêmes résultats qu'une échelle logarithmique népérienne (base $e$ ).