Comment normaliser un vecteur

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Un vecteur est un objet géométrique muni d’une direction et d’une magnitude. Il peut être représenté comme une droite avec un point de départ d’un côté et une flèche à l’autre extrémité. La longueur de la droite représente la magnitude du vecteur et la flèche indique sa direction. La normalisation de vecteurs est un exercice classique en mathématiques et qui possède des applications pratiques en infographie.

Méthode 1

Méthode 1 sur 5:

Définir les termes

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Définissez un vecteur unitaire. Le vecteur unitaire d’un vecteur A est un vecteur avec le même point de départ et la même direction que le vecteur A, mais dont la longueur vaut 1 unité. Il peut être mathématiquement prouvé qu’il n’y a qu’un seul et unique vecteur unitaire pour chaque vecteur A donné.
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Définissez la normalisation d’un vecteur. Il s’agit d’identifier le vecteur unitaire d’un vecteur A donné.
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Définissez ce qu’est un vecteur lié. Un vecteur lié dans l’espace cartésien possède son point de départ à l’origine du système de coordonnées, exprimé sous la forme (0,0) en deux dimensions. Cela vous permet d’identifier un vecteur seulement à partir de son point terminal.
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Décrivez la notation d’un vecteur. En nous limitant aux vecteurs liés, A = (x, y) où la paire de coordonnées (x, y) indiquent la localisation du point terminal du vecteur A.

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Méthode 2

Méthode 2 sur 5:

Analyser l’objet

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Établissez les valeurs connues. À partir de la définition d’un vecteur unitaire, nous savons que le point initial et que la direction de ce vecteur sont identiques à ceux du vecteur A. De plus, nous savons que la longueur du vecteur unité est de 1.
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Déterminez les valeurs inconnues. La seule variable nécessaire au calcul est le point terminal du vecteur unité.

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Méthode 3

Méthode 3 sur 5:

Obtenir une solution dérivée pour le vecteur unité

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Trouvez le point terminal pour le vecteur unité du vecteur A = (x, y). À partir des règles de proportionnalités des triangles, vous savez que tout vecteur ayant la même direction que le vecteur A aura un point terminal de coordonnées (x/c, y/c) pour tout c. De plus, vous savez que la longueur du vecteur unité est 1. Donc, selon le théorème de Pythagore, [x^2/c^2 + y^2/c^2]^(1/2) = 1 -> [(x^2 + y^2)/c^2]^(1/2) -> (x^2 + y^2)^(1/2)/c = 1 -> c = (x^2 + y^2)^(1/2). Ainsi, le vecteur unité u pour le vecteur A = (x, y) s'écrit : u = (x/(x^2 + y^2)^(1/2), y/(x^2 + y^2)^(1/2)).

Méthode 4

Méthode 4 sur 5:

Normaliser un vecteur dans un espace en 2 dimensions

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Soit le vecteur A un vecteur dont le point initial se trouve à l’origine et dont le point terminal possède les coordonnées (2,3), de sorte que : A = (2,3). Calculez l’unité vecteur u = (x/(x^2 + y^2)^(1/2), y/(x^2 + y^2)^(1/2)) = (2/(2^2 + 3^2)^(1/2), 3/(2^2 + 3^2)^(1/2)) = (2/(13^(1/2)), 3/(13^(1/2))). Ainsi, A = (2,3) possède la norme u = (2/(13^(1/2)), 3/(13^(1/2))).

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Méthode 5

Méthode 5 sur 5:

Normaliser un vecteur dans un espace en n dimensions

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Généralisez l’équation de normalisation à un espace à n dimensions. Un vecteur A (a, b, c, …), de norme u = (a/z, b/z, c/z, …) avec z = (a^2 + b^2 + c^2 …)^(1/2).