Comment opérer avec des puissances négatives

Un exposant est un nombre placé en haut à droite d’un autre nombre : cette écriture indique qu’il faut multiplier le nombre du bas autant de fois par lui-même que l’indique le nombre du haut. Ainsi, pour le pouvoir $2^{3}$ , il faut multiplier 2 par lui-même 3 fois
( $2\times 2\times 2$ , soit $8$ ). Un exposant peut-être négatif, à l’image de $2^{-2}$ . En fait, c’est très simple : cette valeur est égale à l’inverse du même pouvoir (ensemble base et exposant), mais avec un exposant positif. En clair, $2^{-2}={\frac {1}{2^{2}}}$ . Les écritures qui suivent sont toutes équivalentes : $2^{-2}={\frac {2^{-2}}{1}}={\frac {1}{2^{2}}}={\frac {1}{2\times 2}}$ . Ces valeurs avec un exposant négatif se manipulent exactement comme celles avec exposants positifs, il faut juste faire plus attention ^{[1]
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Partie 1

Partie 1 sur 2:

Traiter correctement un exposant négatif

1
Comprenez bien ce qu’est une puissance négative. En fait, c’est assez simple, car très semblable aux puissances positives, l’exposant est simplement noté négatif, à l’image de $3^{-3},5^{-2}$ $3^{-3},5^{-2}$ , $7^{-4}$ $7^{-4}$ … La valeur sur la ligne d’écriture est le nombre de base, l’exposant est quant à lui inscrit en petit, en haut à droite de la base. Cet exposant vous indique le nombre de fois où vous allez devoir multiplier son nombre de base par lui-même ^{[2]
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Source de recherche}.
- Qu’il soit positif ou négatif, l’exposant (ou la puissance) se lit de façon identique : x exposant -2, y puissance -4…
- Dans le cadre de la simplification ou de la résolution d’une équation contenant des exposants négatifs, il est souvent plus pratique, mais non obligatoire, de les transformer en exposants positifs.
2
Transformez la puissance négative en fraction. Pour certains, avoir une puissance négative est perturbant. Aussi pouvez-vous la transformer en une puissance positive à la condition de prendre l’inverse du pouvoir. Par cela, nous entendons écrire une fraction dont le numérateur (haut) serait 1 et le dénominateur le pouvoir avec cette fois la même puissance, mais positive. En fait, c’est surtout quand l’on débute que l’on procède à cette inversion. Avec de l’entrainement, vous saurez manipuler directement ces exposants négatifs ^{[3]
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Source de recherche}.
- Pour l’inversion, écrivez une fraction avec 1 en numérateur (au-dessus du trait de fraction) et le nombre de base en dénominateur (sous le trait de fraction).
- Il ne reste plus qu’à mettre l’exposant : ce sera celui du pouvoir de départ, mais positif.
- Les pouvoirs $3^{-3},5^{-2}$ et $7^{-4}$ sont équivalents aux fractions suivantes et respectives : ${\frac {1}{3^{3}}},{\frac {1}{5^{2}}}$ et ${\frac {1}{7^{4}}}$ .
- Cette opération est une des lois sur les exposants, il en est d’autres.
3
Opérez de même avec les inconnues à puissance négative. Nous venons de voir des pouvoirs (base et son exposant) à puissances négatives, sachez qu’il est possible d’opérer de la même façon avec des expressions contenant des inconnues. Et ce n’est pas parce qu’il y a une inconnue que la règle de simplification, le passage à une fraction, ne s’applique pas ^{[4]
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Source de recherche}.
- Suivant la règle utilisée précédemment, $2x^{-1}$ peut donc s’écrire $2({\frac {x^{-1}}{1}})$ , puis après inversion ${\frac {2}{{1x}^{1}}}$ .
- À son tour, ${\frac {2}{1x^{1}}}$ se simplifie en ${\frac {2}{x}}$ .
- Remarquez bien que l’inversion touche uniquement la puissance de $x$ et non l’ensemble de l’expression (monôme ou polynôme).
4
Ne redoutez pas les exposants négatifs rationnels ! Bien que rare, il peut arriver que vous ayez à la fois un exposant négatif et rationnel (fraction). En fait, vous ne devez pas vous écarter de la règle qui veut que l’on doive changer le signe de l’exposant en inversant sur 1. La fraction sera traitée ensuite ^{[5]
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Source de recherche}.
- Le premier stade est donc de rendre la puissance positive en l’inversant sur 1.
- Exemple : avec le pouvoir $16^{-1/2}$ , tracez une fraction avec 1 en numérateur et le pouvoir en question affecté désormais d’une puissance positive.
- $16^{-1/2}$ est équivalent à ${\frac {1}{16^{1/2}}}$ .
- ${\frac {1}{16^{1/2}}}$ est équivalent à ${\frac {1}{\sqrt {16}}}$ .
- ${\frac {1}{\sqrt {16}}}$ est équivalent à ${\frac {1}{4}}$ .
5
Faites la différence entre une base négative et un exposant négatif. Un nombre de base négatif ne peut devenir positif en l’inversant : la règle ne s’applique qu’aux exposants. Les débutants font parfois la confusion, mais très vite, elle n’est plus possible, mais il faut toujours rester vigilant(e) sans quoi l’erreur guette ^{[6]
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Source de recherche}.
- Un nombre de base positif et un exposant négatif : la règle de l’inversion s’applique afin de rendre l’exposant positif.
- Exemple : $6^{-2}={\frac {1}{6^{2}}}$
- Un nombre de base négatif et un exposant positif : la règle de l’inversion ne s’applique pas. La simplification passe par le produit de -5 multiplié par lui-même 5 fois.
- Exemple : $-5^{5}=-5\times -5\times -5\times -5\times -5=-3125$
6
Servez-vous d’une calculatrice pour un calcul direct. Sur les scientifiques, il y a toujours une touche de calcul de puissance dont l’intitulé change selon les modèles (E, ^, $y^{x}$ ). Avant d’appuyer sur la touche de validation, vérifiez bien que ce qui est affiché correspond à votre calcul, signes compris ^{[7]
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Source de recherche}.
- L’exposant négatif doit être mis entre parenthèses : $4E(-6)$ .
- L’avantage de la calculatrice est de vous donner directement le résultat sans passer par le calcul du pouvoir à exposant positif, puis de son inverse.
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Partie 2

Partie 2 sur 2:

Bien opérer avec des puissances négatives

1
Additionnez les exposants quand les nombres de base sont identiques. En cas de produit de deux pouvoirs ayant les mêmes bases, le résultat sera un pouvoir ayant le même nombre de base, avec un exposant qui sera la somme des deux exposants. Cela fonctionne aussi avec de multiples produits ^{[8]
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- Exemple : $4^{-1/4}\times 4^{-1/4}$ se simplifie ainsi : $4^{(-1/4)+(-1/4)}$ , soit $4^{-1/2}$ .
- Le pouvoir $4^{-1/2}$ peut aussi se présenter sous la forme ${\frac {1}{4^{1/2}}}$ .
- La fraction ${\frac {1}{4^{1/2}}}$ peut s’écrire ${\frac {1}{\sqrt {4}}}$ et après calcul de la racine, vous obtenez
  ${\frac {1}{2}}$ .
2
Soustrayez les exposants quand les nombres de base sont identiques. En cas de quotient de deux pouvoirs ayant les mêmes bases, le résultat sera un pouvoir ayant le même nombre de base, avec un exposant qui sera la différence des deux exposants. Attention à ne pas modifier l’ordre des exposants : c’est bien l’exposant du haut moins celui du bas ^{[9]
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Source de recherche}.
- Comme il y a soustraction de deux exposants négatifs, le second exposant est en fait ajouté au premier.
- Avec la fraction ${\frac {2^{-7}}{2^{-2}}}$ , les deux exposants se soustraient ainsi : $(-7)-(-2)$ , soit $(-7)+2$ : ${\frac {2^{-7}}{2^{-2}}}=2^{-5}$ .
- L’autre façon de présenter ce résultat est de l’inverser : $2^{-5}={\frac {1}{2^{5}}}$ .
3
Conservez les exposants quand les nombres de base diffèrent. En cas de produit ou de quotient de deux bases différentes ayant le même exposant, l’exposant restera le même, positif comme négatif. Dans ce cas, l’on peut dire que l’exposant est mis en commun et reste inchangé, tandis que les nombres de base subissent une opération, un produit ou un quotient ^{[10]
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- $7^{-6}\times 8^{-6}$ est équivalent à $56^{-6}$ .
- $5^{-1/6}\times 20^{-1/6}$ est équivalent à $100^{-1/6}$ .
4
Entrainez-vous à manipuler ces exposants négatifs. Comme toujours en mathématiques, la pratique, après assimilation de la théorie, fait la différence : plus vous manipulerez ces puissances particulières, moins vous ferez d’erreurs. En fait, à bien y regarder, les exposants négatifs suivent les mêmes règles que leurs homologues positifs.
- Exemple : $16^{-1/4}+4^{-2}={\frac {1}{\sqrt[{4}]{16}}}+{\frac {1}{(4^{2})}}$
- ${\frac {1}{\sqrt[{4}]{16}}}+{\frac {1}{(4^{2})}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{16}}$
- ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{16}}={\frac {8}{16}}+{\frac {1}{16}}$
- ${\frac {8}{16}}+{\frac {1}{16}}={\frac {9}{16}}$
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