Comment résoudre des équations littérales

Une équation littérale est une équation qui renferme une ou plusieurs lettres, lesquelles représentent des nombres non fixés : des variables ^{[1]
X
Source de recherche}. En fonction de l'inconnue à trouver, vous devrez isoler cette dernière seule dans le membre de gauche. En mathématiques, il arrive parfois qu'il faille travailler sur des formules littérales dans le but d'isoler une variable, laquelle sera exprimée en fonction d'autres variables. Résolution numérique ou travail sur les valeurs littérales, respectez toujours les règles d'algèbre.

Méthode 1

Méthode 1 sur 3:

Travailler sur des formules littérales de géométrie

1
Déterminez l'inconnue à isoler. Isoler une inconnue (ou une variable) consiste à la laisser seule d'un côté de l'équation, à gauche le plus souvent. Soit la variable à isoler sera clairement exprimée dans l'exercice soit ce sera une étape dans un exercice un peu plus complet et ce sera à vous de déterminer la variable utile pour poursuivre.
- Pour prendre un exemple, il vous sera peut-être un jour donné la formule de calcul de l'aire du triangle, laquelle donne l'aire en fonction de la hauteur : on vous demandera de faire l'inverse, à savoir exprimer $h$ en fonction des autres variables.
2
Utilisez les bonnes opérations pour isoler la variable. Pour ce faire, utilisez l'opération inverse de celle affectant la variable, mais aussi les autres expressions. Pour rappel, les opérations qui s'annulent sont les suivantes :
- avec la multiplication, utilisez la division,
- avec l'addition, utilisez la soustraction,
- avec l'élévation au carré, pensez à la racine carrée.
3
Veillez à ne pas modifier l'équation. Vous pouvez mettre en œuvre les opérations que vous voulez sur un membre de l'équation, à la condition de faire de même sur l'autre membre. C'est ainsi que l'équation restera inchangée. C'est grâce à cette propriété que vous pourrez isoler l'inconnue que vous cherchez.
- Reprenons l'exemple du triangle. La formule de l'aire est : ( $A={\frac {1}{2}}bh$ $A={\frac {1}{2}}bh$ ) et vous devez exprimer $h$ $h$ en fonction des autres variables.
  - Faites disparaitre la fraction en multipliant de chaque côté par 2 :
    $2\times A=2\times {\frac {1}{2}}bh$
    $2A=bh$
  - Isolez $h$ en divisant de chaque côté par $b$ :
    ${\frac {2A}{b}}={\frac {bh}{b}}$
    ${\frac {2A}{b}}=h$
- Présentez $h$ dans le bon sens : $h={\frac {2A}{b}}$
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Méthode 2

Méthode 2 sur 3:

Travailler sur des équations littérales de fonctions

1
Sachez reconnaitre les équations affines. Elles se présentent sous la forme $y=mx+b$ , $y$ représentant l'ordonnée d'un point du graphe, $x$ , l'abscisse de ce même point, $m$ , la pente ou le coefficient directeur de la droite et $b$ , l'ordonnée à l'origine ^{[2]
X
Source de recherche}.
2
Sachez reconnaitre l'équation diophantienne d'une droite. Une telle équation se présente sous la forme $ax+by=c$ , $x$ et $y$ sont les coordonnées d'un des points de la droite, $a$ , $b$ et $c$ étant des entiers relatifs (les deux premiers étant non nuls et $a$ , positif) ^{[3]
X
Source de recherche}.
3
Respectez certaines règles d'algèbre. Pour isoler une variable, vous devez vous souvenir de cette règle fondamentale qui veut qu'une équation reste inchangée si toute opération faite sur un membre est faite à l'identique sur l'autre membre. Il faut aussi user des opérations inverses.
- Prenons l'équation de la fonction linéaire $3x+2y=4$ $3x+2y=4$ . Elle est sous sa forme diophantienne et l'exercice vous demande de calculer l'ordonnée à l'origine, là où la droite coupe l'axe des y. Le plus simple est d'écrire l'équation sous sa forme affine, c'est-à-dire en isolant $y$ $y$ à gauche ^{[4]
  X
  Source de recherche}.
  - Soustrayez $3x$ de chaque côté de l'équation :
    $3x+2y-3x=4-3x$
    $2y=4-3x$ .
  - Divisez de chaque côté par $2$ :
    ${\frac {2y}{2}}={\frac {4-3x}{2}}$
    $y={\frac {4-3x}{2}}$
4
Présentez éventuellement l'équation de façon plus claire. Comme il vous est demandé l'ordonnée à l'origine de la fonction, l'idéal est d'avoir une constante bien individualisée. Pour cela, il sera peut-être nécessaire de retravailler l'équation dans le sens d'une plus grande clarté. Cela suppose de modifier la variable $x$ $x$ et la constante.
- Pour présenter $y={\frac {4-3x}{2}}$ sous sa forme affine, vous devez changer l'ordre de l'addition en numérateur (commutativité de l'addition), puis simplifier :
  $y={\frac {-3x+4}{2}}$
  $y={\frac {-3}{2}}x+2$
  Sous cette forme, il est facile de déterminer l'ordonnée à l'origine (quand $x=0$ ), c'est le point d'ordonnée 2.
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Méthode 3

Méthode 3 sur 3:

Résoudre littéralement une équation

1
Trouvez $b$ . Trouvez sa valeur littérale dans l'équation : $R=5bd-6ba$ $R=5bd-6ba$ .
- Mettez $b$ en facteur : $R=b(5d-6a)$ .
- Isolez $b$ en divisant de chaque côté par l'expression entre parenthèses :
  ${\frac {R}{5d-6a}}={\frac {b(5d-6a)}{5d-6a}}$
  ${\frac {R}{5d-6a}}=b$ ou $b={\frac {R}{5d-6a}}$
2
Exprimez le rayon (r) d'un cercle en fonction de la circonférence (C). La formule de la circonférence est : $C=2\pi {r}$ $C=2\pi {r}$ ^{[5]
X
Source de recherche}.
- Identifiez bien les deux variables. Dans la formule, $C$ représente la circonférence (pourtour du cercle) et $r$ , le rayon. Votre problème consiste donc à isoler $r$ .
- Pour isoler $r$ , divisez de chaque côté par $2\pi$ :
  ${\frac {C}{2\pi }}={\frac {2\pi {r}}{2\pi }}$
  ${\frac {C}{2\pi }}=r$
- Le plus souvent, on présente la variable isolée en tête, ce qui donne ici : $r={\frac {C}{2\pi }}$ , l'égalité se lit indifféremment dans les deux sens.
3
Passez d'une équation affine à une équation diophantienne. Prenons comme exemple $y={\frac {1}{2}}x+5$ $y={\frac {1}{2}}x+5$ .
- Une équation diophantienne se présente ainsi : $ax+by=c$ ( $a$ , $b$ et $c$ sont des entiers).
- Faites disparaitre la fraction en multipliant de chaque côté par 2 :
  $2y=2({\frac {1}{2}}x+5)$
  $2y=x+10$
- Soustrayez $x$ de chaque côté de l'équation :
  $2y-x=x+10-x$
  $2y-x=10$
- Arrangez le membre de gauche en mettant $x$ en première position :
  $-x+2y=10$ .
- Multipliez de chaque côté par $-1$ , car $a$ doit être un entier positif ^{[6]
  X
  Source de recherche} :
  $-1(-x+2y)=-1(10)$
  $x-2y=-10$
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