Comment simplifier des expressions contenant des fractions

Les fractions rationnelles sont des expressions dans lesquelles les numérateurs et les dénominateurs sont des polynômes ^{[1]
X
Source de recherche}. Une telle fraction peut éventuellement se simplifier tout comme on simplifie une fraction numérique. Ce n'est pas très compliqué à condition de trouver des quantités communes aux deux polynômes. Dans la théorie, c'est facile, mais il y a cependant quelques cas un peu plus délicats.

Méthode 1

Méthode 1 sur 3:

Simplifier une fraction avec des monômes

1
Étudiez de près votre fraction. Pour pouvoir utiliser cette méthode, il faut impérativement faire apparaitre dans votre expression un monôme commun en numérateur et en dénominateur. Un monôme est un polynôme n'ayant qu'un seul terme ^{[2]
X
Source de recherche}.
- Ainsi, la fraction ${\frac {4x}{16x^{2}}}$ ne présente qu'un terme en numérateur, et un autre terme en dénominateur, chacun d'eux est un monôme.
- L'expression ${\frac {4x+4}{16x^{2}-2}}$ , présentant deux binômes, ne peut être simplifiée avec cette méthode.
2
Factorisez le numérateur. Pour ce faire, décomposer l'expression en numérateur en un produit de facteurs premiers, sans oublier de décomposer $x$ $x$ . Pour plus d'informations sur la façon de factoriser, lisez cet article. Après avoir fait de même avec le dénominateur, récrivez l'expression ainsi décomposée ^{[3]
X
Source de recherche}.
- Ainsi, $4x$ se développe sous la forme : $2\times 2\times x$ et $16x^{2}$ , sous la forme : $2\times 2\times 2\times 2\times x\times x$ . Ainsi développée, votre fraction rationnelle se présente comme suit : ${\frac {2\times 2\times x}{2\times 2\times 2\times 2\times x\times x}}$
3
Simplifiez votre fraction. Supprimez les facteurs communs au numérateur et au dénominateur. L'explication tient au fait que lorsqu'on divise un terme par lui-même, on obtient 1, lequel est élément neutre pour la multiplication ^{[4]
X
Source de recherche}.
- Dans notre exemple, simplifiez deux fois par 2 et une fois par x, toutes ces valeurs sont présentes en numérateur et en dénominateur :
  ${\frac {{\cancel {2}}\times {\cancel {2}}\times {\cancel {x}}}{{\cancel {2}}\times {\cancel {2}}\times 2\times 2\times {\cancel {x}}\times x}}$
4
Récrivez l'expression avec ce qu'il reste. Rappelons ici que lorsqu'on divise un terme par lui-même, on obtient 1, et que 1 est élément neutre pour la multiplication et la division. Même simplifiée, votre fraction a toujours la même valeur.
- Exemple :
  ${\frac {{\cancel {2}}\times {\cancel {2}}\times {\cancel {x}}}{{\cancel {2}}\times {\cancel {2}}\times 2\times 2\times {\cancel {x}}\times x}}$
  ${\frac {1}{2\times 2\times x}}$
5
Refaites les calculs. Une fois la fraction simplifiée, il ne vous reste plus, si c'est nécessaire, qu'à faire les calculs en numérateur et en dénominateur. Vous obtenez alors, une fraction simplifiée qui a exactement la même valeur que celle d'origine.
- Exemple :
  ${\frac {1}{2\times 2\times x}}$
  
  ${\frac {1}{4x}}$
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Méthode 2

Méthode 2 sur 3:

Simplifier une fraction présentant un monôme et un binôme

1
Étudiez de près votre fraction. Cette méthode ne marche que s'il y a au moins un binôme dans l'expression. Il peut être en numérateur, en dénominateur ou dans les deux à la fois. Un binôme est un polynôme ayant deux termes ^{[5]
X
Source de recherche}.
- Ainsi, la fraction ${\frac {4x}{16x^{2}-2x}}$ présente deux termes sous le trait de fraction : le dénominateur est un binôme.
2
Trouvez un facteur commun. Voyez s'il n'y a pas un monôme par lequel on pourrait simplifier le numérateur et le dénominateur. Ce facteur se doit d'être présent dans chacun des termes de l'expression. Simplifiez par ce facteur commun, puis récrivez l'expression ^{[6]
X
Source de recherche}.
- Ainsi, le monôme $2x$ est un facteur commun au dénominateur et au numérateur de la fraction ${\frac {4x}{16x^{2}-2x}}$ . Si vous factorisez les deux expressions par $2x$ , vous avez la fraction suivante : ${\frac {2x(2)}{2x(8x-1)}}$
3
Simplifiez par le facteur commun. Comme précédemment, on peut simplifier par la quantité mise en commun, étant donné que divisée par elle-même cette valeur vaut 1 (élément neutre pour la division et la multiplication) ^{[7]
X
Source de recherche}.
- Exemple :
  ${\frac {2x(2)}{2x(8x-1)}}$
  
  ${\frac {{\cancel {2x}}(2)}{{\cancel {2x}}(8x-1)}}$
4
Récrivez l'expression sous sa forme définitive. Après avoir simplifié, vous avez une nouvelle fraction, plus simple, mais qui a la même valeur que celle d'origine. Si vous avez correctement factorisé, il n'y a normalement plus aucun facteur commun au numérateur et au dénominateur : faites quand même une vérification.
- Exemple :
  ${\frac {{\cancel {2x}}(2)}{{\cancel {2x}}(8x-1)}}$
  
  ${\frac {2}{8x-1}}$
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Méthode 3

Méthode 3 sur 3:

Simplifier une fraction présentant deux polynômes

1
Étudiez de près votre expression. Cette méthode ne marche que s'il y a un polynôme du second degré au numérateur et au dénominateur. Un polynôme second degré est un polynôme qui contient un terme à la puissance 2 ^{[8]
X
Source de recherche}.
- Ainsi, l'expression ${\frac {x^{2}-4}{x^{2}-2x-8}}$ est composée d'un polynôme du second degré en numérateur et d'un autre du même type en dénominateur : elle peut éventuellement être simplifiée.
2
Décomposez le polynôme du numérateur en deux binômes. Pour pouvoir simplifier, il faut qu'on puisse factoriser les deux polynômes et trouver un binôme commun. Factorisez le numérateur en un produit de deux binômes. Pour plus d'informations sur cette opération, lisez cet article. Récrivez votre expression avec, en numérateur, le produit des deux binômes.
- Ainsi, $x^{2}-4$ se factorise de la façon suivante : $(x-2)(x+2)$ (identité remarquable). À ce stade, votre expression est la suivante : ${\frac {(x-2)(x+2)}{x^{2}-2x-8}}$
3
Factorisez le polynôme du dénominateur. Si c'est possible, il faut trouver un produit de binômes qui soit équivalent au polynôme de départ en cherchant ses deux racines. Cela fait, récrivez votre fraction rationnelle ainsi factorisée.
- Ainsi, $x^{2}-2x-8$ a deux racines (-2 et 4), ce qui donne la factorisation : $(x+2)(x-4)$ . À ce stade, votre expression est la suivante : ${\frac {(x-2)(x+2)}{(x+2)(x-4)}}$
4
Simplifiez la fraction. Si vous avez un binôme commun en numérateur et en dénominateur, vous pouvez simplifier ^{[9]
X
Source de recherche}. Sous forme de produit, les binômes sont entre parenthèses ^{[10]
X
Source de recherche}. Une fois encore, diviser une quantité par elle-même donne 1, qui est neutre pour la division et la multiplication.
- Exemple :
  ${\frac {(x-2)(x+2)}{(x+2)(x-4)}}$
  
  ${\frac {(x-2){\cancel {(x+2)}}}{{\cancel {(x+2)}}(x-4)}}$
5
Récrivez la fraction définitivement simplifiée. Ne conservez que les termes restants. Si, en numérateur, vous faites disparaitre tous les binômes, il vous restera 1. Après factorisation et simplification, il vous reste une fraction rationnelle irréductible.
- Exemple :
  ${\frac {(x-2){\cancel {(x+2)}}}{{\cancel {(x+2)}}(x-4)}}$
  
  ${\frac {x-2}{x-4}}$
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