Comment simplifier des fractions algébriques

Coécrit par David Jia

Au premier abord, une fraction algébrique peut sembler difficile à manipuler. Une telle expression mélange allègrement des valeurs numériques, des inconnues, parfois même avec des exposants. Un novice, qui connait déjà les fractions numériques, ne sait pas forcément par quel bout les prendre. Pour manipuler de telles fractions, sachez que, si la forme change, les principes, fort heureusement, restent les mêmes. Si vous savez simplifier 15/25, alors, moyennant quelques conseils, vous saurez simplifier n'importe quelle fraction algébrique.

Méthode 1

Méthode 1 sur 3:

Simplifier les fractions

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Faisons quelques révisions de vocabulaire pour commencer. Nous allons utiliser un certain nombre de termes dans cet article, aussi convient-il de se rafraichir la mémoire. Nous parlerons :
- du numérateur : c'est la partie au-dessus du trait de fraction ((x+5)/(2x+3)),
- du dénominateur : c'est la partie au-dessous du trait de fraction ((x+5)/(2x+3)),
- du commun diviseur : il s'agit d'une valeur qui divise à la fois le numérateur et le dénominateur. Ainsi, pour la fraction 3/9, le commun diviseur est 3, puisqu'il divise à la fois 3 (numérateur) et 9 (dénominateur),
- de facteurs : ce sont les éléments constitutifs d'un produit. Ainsi, les facteurs de 15 sont : 1, 3, 5 et 15. Les facteurs de 4 sont : 1, 2 et 4.
- d'expression simplifiée : que ce soit pour une fraction ou les membres d'une équation, la simplification consiste à regrouper tout ce qui peut l'être (5x + x devient 6x) et à éliminer ce qui doit l'être (6x/x = 6). Lorsque vous ne pouvez plus simplifier votre fraction, elle est dite « irréductible ».
2
Revoyons la simplification des fractions numériques. Vous procèderez de même avec les fractions algébriques.^{[1]
X
Source de recherche} Prenons la fraction numérique 15/35. Pour la simplifier, il faut trouver un commun diviseur du numérateur et du dénominateur. Ici, ce sera 5. En effet, on peur récrire la fraction ainsi :
15 → 5 * 3
35 → 5 * 7 L'étape suivante consiste à supprimer les facteurs communs au numérateur et au dénominateur (ici, 5), ce qui donne finalement : 15/35 = 3/7.
3
Factorisez les expressions algébriques.^{[2]
X
Source de recherche} Dans la partie précédente, on avait en quelque sorte factorisé 5. Il est possible de faire la même chose avec une expression algébrique comme 15x – 5. Trouvez un facteur commun aux deux termes du monôme (15x et 5). La réponse est : 5, puisque 15x est divisible par 5, tout comme 5. On isole ce facteur commun et on le multiplie par « ce qui reste ». On obtient alors :
15x – 5 = 5 * (3x – 1) Pour vérifier que la factorisation est exacte, on peut développer en multipliant par 5 chacun des termes entre parenthèses : vous devez retrouver l'expression de départ.
4
Simplifiez par des expressions algébriques. ^{[3]
X
Source de recherche}En effet, le principe est le même : on peut simplifier une fraction par une même valeur numérique (par exemple, 8), mais aussi par une même expression algébrique (par exemple, 8x-7). Prenons comme exemple la fraction :
(x+2)(x-3)
(x+2)(x+10)
Vous remarquez que le terme (x+2) est présent aussi bien en numérateur (en haut) qu'en dénominateur (en bas). Comme on a simplifié précédemment 15/35 par 5, on peut ici simplifier par (x+2), ce qui donne :
~~(x+2)~~(x-3) → (x-3)
~~(x+2)~~(x+10) → (x+10) La fraction simplifiée est : (x-3)/(x+10)

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Méthode 2

Méthode 2 sur 3:

Simplifier des fractions algébriques

1
Factorisez le numérateur (au-dessus du trait de fraction). Dans la perspective d'une simplification d'une fraction algébrique, il faut factoriser au maximum chacune des parties de la fraction. Commencez par le numérateur et factorisez le plus possible. ^{[4]
X
Source de recherche} Nous prendrons comme exemple :
9x-3
15x+6
Le numérateur est donc : 9x – 3. On peut mettre 3 en facteur, puisqu'il divise à la fois 9x et 3. On isole 3, ce qui donne : 9x - 3 = 3(3x-1). La fraction se présente donc ainsi :
3(3x-1)
15x+6
2
Factorisez le dénominateur (au-dessous du trait de fraction).^{[5]
X
Source de recherche} Faites de même avec le dénominateur, soit 15x+6. Cherchez un facteur commun aux deux termes (15x et 6). C'est à nouveau 3, puisqu'il les divise tous les deux. On isole donc 3, ce qui donne : 15x+6 = 3(5x+2). La fraction se présente donc ainsi :
3(3x-1)
3(5x+2)
3
Supprimez les termes semblables. C'est seulement maintenant que vous allez pouvoir simplifier votre fraction. Si vous avez un facteur commun en numérateur et en dénominateur, vous pouvez le supprimer des deux côtés. Dans notre exemple, 3 est présent en haut et en bas, vous pouvez simplifier :
3(3x-1) → (3x-1)
3(5x+2) → (5x+2)
4
Sachez reconnaitre une fraction irréductible. Une fraction irréductible est une fraction qui ne peut plus être simplifiée, car le numérateur et le dénominateur n'ont plus de facteur commun. Il est une précaution à prendre : on ne peut simplifier que les produits, non les sommes. Ainsi, on ne peut pas simplifier par x les termes (3x-1) et (5x+2) : ce sont des sommes et non des produits. En conclusion, la fraction ne peut être davantage simplifiée. Elle est irréductible et se présente ainsi :
(3x-1)
(5x+2)
5
Rien ne vaut la pratique. Essayez de simplifier les deux fractions algébriques ci-dessous. Les réponses se trouvent au-dessous, mais essayez de ne pas les regarder tout de suite !
4(x+2)(x-13)
(4x+8) Réponse : (x=13)
2x²-x
5x Réponse : (2x-1)/5

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Méthode 3

Méthode 3 sur 3:

Quelques conseils pour des fractions complexes

1
Mettez en facteur un nombre négatif. Ainsi, prenons comme exemple la fraction suivante :
3(x-4)
5(4-x)
Vous avez surement remarqué que (x-4) et (4-x) sont assez proches, si ce n'était une histoire de signes. Cependant, vous ne pouvez pas simplifier, car les deux expressions ne sont pas strictement identiques. En rusant un peu, on peut inverser les signes : il suffit de factoriser par -1. C'est ainsi que : (x - 4) = -1(-x+4) = -1(4 - x). Vous avez factorisé de la même façon que si vous aviez fait : (4 + 2x) = 2(2 + x). La différence tient au simple fait que vous avez factorisé un nombre négatif. La fraction devient :
-1 * 3(4-x)
5(4-x)
Vous avez maintenant deux termes identiques (4-x) qu'on peut supprimer
-1 * 3~~(4-x)~~
5~~(4-x)~~
(4-x) Ainsi, la fraction algébrique de départ se résume à : -3/5
2
Sachez identifier une différence de carrés. L'expression est peut-être étrange, car elle se résume à la soustraction de deux carrés, comme a² - b². C'est ce qu'on appelle une « identité remarquable ». On peut transformer cette somme en un produit de sommes :
a² - b² = (a+b)(a-b)
Dans cette identité, a et b sont les racines carrées respectives de a² et b². C'est très utile pour factoriser, puis pour simplifier les fractions algébriques.
- Exemple : x² - 25 = (x+5)(x-5)
3
Simplifiez n'importe quel polynôme. Les polynômes sont des expressions algébriques un peu complexes ayant plus de deux termes, à l'image de x² + 4x + 3. Assez souvent, il est possible de les simplifier en les factorisant. Le polynôme du second degré qu'on a pris en exemple peut aussi s'écrire : (x+3)(x+1), car -3 et -1 sont ses racines.
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Les inconnues peuvent être mises en facteur. C'est particulièrement utile quand elles sont affectées de puissances élevées, comme c'est le cas avec x⁴ + x². Dans cet exemple, vous pouvez mettre l'inconnue ayant le plus petit exposant (x²) en facteur, ce qui donne : x⁴ + x² = x²(x² + 1).

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Conseils

Il faut factoriser le plus possible pour simplifier ensuite le travail.
Si vous avez des doutes sur votre factorisation, prenez un peu de temps pour développer votre produit afin de retomber sur votre expression de départ.

Avertissements

Si vous ne connaissez pas les règles de calcul concernant les puissances, vous courez à la catastrophe. Il faut les connaitre et savoir les appliquer.