Comment simplifier les fractions complexes

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Les fractions complexes ou composées sont des fractions qui contiennent des termes fractionnaires au numérateur et/ou au dénominateur. Pour cette raison, ces fractions sont parfois désignées sous le nom de « doubles fractions ». La simplification d’une fraction composée est une technique dont la difficulté dépend du nombre de termes du numérateur et du dénominateur, des variables, si elles existent et de leur complexité. Pour en savoir plus, référez-vous à la première étape !

Méthode 1

Méthode 1 sur 2:

Simplifier les fractions composées en multipliant par l’inverse

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Simplifiez le numérateur et le dénominateur si nécessaire pour obtenir des fractions simples. Les fractions composées ne sont pas systématiquement difficiles à résoudre. En réalité, une fraction ayant un numérateur et un dénominateur avec un terme fractionnaire chacun, est facile à résoudre. Donc, si le numérateur et/ou le dénominateur de votre fraction composée contient plusieurs fractions ou des termes fractionnaires et des nombres entiers, faites les calculs nécessaires et simplifiez pour obtenir un numérateur et un dénominateur ayant chacun une seule fraction. En calculant, vous serez peut-être amené à réduire au même dénominateur deux ou plusieurs fractions.
- Par exemple, supposez que vous ayez à simplifier la fraction composée suivante : (3/5 + 2/15)/(5/7 – 3/10). D’abord, vous devez simplifier le numérateur et le dénominateur de votre fraction composée pour obtenir une seule fraction au numérateur et une seule fraction au dénominateur.
  - Pour simplifier le numérateur, réduisez les deux fractions au même dénominateur en multipliant 3/5 par 3/3. Dans cette opération, vous avez utilisé un plus petit commun multiple (PPCM) égal à 15. Ainsi, votre numérateur devient : 9/15 + 2/15, soit : 11/15.
  - Afin de simplifier le dénominateur, réduisez les deux fractions au même dénominateur en multipliant 5/7 par 10/10 et 3/10 par 7/7. Dans cette opération, vous avez utilisé un plus petit commun multiple (PPCM) égal à 70. Votre dénominateur devient : 50/70 - 21/70, soit : 29/70.
  - Donc, vous pouvez écrire votre fraction complexe sous la forme : (11/15)/(29/70).
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Renversez le dénominateur pour obtenir son inverse. Par définition, diviser un nombre par un autre consiste à multiplier le premier nombre par l’inverse du second. À présent, vous pouvez appliquer cette règle à votre fraction complexe pour la simplifier, car cette fraction est formée d’un numérateur et d’un dénominateur qui ne contiennent chacun qu’une seule fraction ! D’abord, trouvez l’inverse de la fraction du dénominateur de la fraction complexe. Dans ce but, « renversez » la fraction du dénominateur en plaçant le dénominateur à la place du numérateur et inversement.
- Dans cet exemple, le terme fractionnaire 29/70 représente la fraction du dénominateur de la fraction complexe (11/15)/(29/70). Afin de trouver son inverse, il vous suffit de « renverser » ce terme pour obtenir 70/29.
  - Notez que si le dénominateur de la fraction composée est constitué d’un nombre entier, vous pouvez le considérer comme étant une fraction et chercher son inverse en appliquant la même méthode. Par exemple, soit la fraction complexe (11/15)/(29), vous pouvez écrire le dénominateur sous la forme 29/1, ce qui vous donne une fraction inverse de 1/29.
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Multipliez le numérateur de la fraction composée par l’inverse du dénominateur. Ayant trouvé l’inverse du dénominateur de votre fraction composée, multipliez-le par le numérateur pour avoir une seule fraction ! Souvenez-vous que pour obtenir le produit de deux fractions, vous devez multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
- Dans l’exemple précédent, vous avez à calculer 11/15 & times ; 70/29. Donc, 70 & times ; 11 = 770 et 15 & times ; 29 = 435. Ainsi, votre nouvelle fraction est égale à : 770/435.
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Simplifiez cette fraction en cherchant le plus grand commun diviseur. À présent, il ne vous reste plus qu’à simplifier la fraction que vous venez d’obtenir. Trouvez le plus grand commun diviseur (PGCD) du numérateur et du dénominateur, ensuite simplifiez votre fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par ce nombre.
- Notez que 5 est un facteur commun à 770 et 435. Donc, si vous divisez le numérateur et le dénominateur de votre fraction par 5, vous obtenez154/87. Sachant que 154 et 87 n’ont pas de facteur commun, vous pouvez affirmer que vous avez obtenu votre résultat final !
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Méthode 2

Méthode 2 sur 2:

Simplifier les fractions composées qui contiennent des variables

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Utilisez la multiplication par l’inverse exposée précédemment, lorsque c’est possible. En d’autres termes, n’importe quelle fraction complexe peut être simplifiée, d’abord en calculant le numérateur et le dénominateur pour obtenir deux fractions simples, ensuite en multipliant la fraction du numérateur par l’inverse de la fraction du dénominateur. Les fractions composées qui contiennent des variables ne forment pas d’exception à cette règle. Cependant, la difficulté et le temps nécessaire pour appliquer cette méthode dépendent de la complexité des expressions qui contiennent les variables. Dans le cas des fractions composées « faciles », une bonne option consiste à les simplifier en multipliant par l’inverse, mais si la fraction contient plusieurs variables au numérateur et au dénominateur, il sera plus judicieux d’employer la méthode suivante qui est plus facile.
- Par exemple, vous pouvez simplifier facilement l’expression (1/x)/(x/6) en utilisant la multiplication par l’inverse. Soit : 1/x & times ; 6/x = 6/x². Dans ce cas, vous n’êtes pas obligé d’employer la deuxième méthode.
- Toutefois, l’expression ([(1)/(x+3)] + x - 10)/(x +4 +[(1)/(x - 5)]) est plus difficile à simplifier en multipliant par l’inverse. Probablement, vous aurez du mal à obtenir deux fractions simples, une au numérateur et l’autre au dénominateur, ensuite faire la multiplication inverse et simplifier le résultat. Dans ce cas, efforcez-vous d’employer la méthode ci-après qui est plus simple.
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Lorsque la multiplication par l’inverse n’est pas applicable, cherchez d’abord le plus petit dénominateur commun des fractions de la fraction composée. La première opération de cette technique de simplification consiste à réduire au même dénominateur les fractions du numérateur et celles du dénominateur. Généralement, si une ou plusieurs fractions contiennent des variables, le dénominateur commun est donné par le produit des dénominateurs des fractions considérées.
- Mais, il est plus simple de comprendre cette méthode à l’aide d’un exemple. Essayez de simplifier la fraction composée précédente : ([(1)/(x+3)] + x - 10)/(x +4 +[(1)/(x - 5)]). Les termes fractionnaires sont 1/(x + 3) et 1/(x – 5). Le dénominateur commun de ces deux termes est obtenu en multipliant leurs dénominateurs : (x + 3) (x – 5).
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Multipliez le numérateur de la fraction composée par le dénominateur commun que vous avez trouvé. La suite de l’opération consiste à multiplier les termes de la fraction composée par le dénominateur commun de ses termes fractionnaires. Autrement dit, multipliez cette fraction par l’expression (dénominateur commun)/(dénominateur commun). Vous pouvez le faire, car l’expression (dénominateur commun)/(dénominateur commun) est égale à 1. Commencez par multiplier le numérateur.
- Dans cet exemple, vous devez multiplier la fraction composée ([(1)/(x+3)] + x - 10)/(x +4 +[(1)/(x - 5)]) par ([x+3] [x-5])/([x+3] [x-5]). Donc, multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction composée par (x+3) (x-5).
  - Multipliez le numérateur : ([(1)/(x+3)] + x - 10) × (x+3) (x-5)
  - *= (((x+3) (x-5)/(x+3)] + x [(x+3) (x-5)] - 10[(x+3) (x-5)]
  - *= (x – 5) + [x (x² – 2x – 15)] – [10 (x² – 2x – 15)]
  - *= (x – 5) + [x³ – 2x² – 15x] – [10x² – 20x – 150]
  - *= (x – 5) + x³ – 12x² + 5x + 150
  - *= x³ – 12x² + 6x + 145
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Multipliez le dénominateur de la fraction composée par le dénominateur commun comme vous l’avez fait pour le numérateur. Ceci consiste à multiplier chaque terme du dénominateur de la fraction composée par le dénominateur commun.
- Le dénominateur de la fraction composée [((1)/(x+3)) + x - 10]/[x +4 +((1)/(x - 5))] est donné par l’expression : x +4 +[(1)/(x-5)]. Multipliez cette expression par le dénominateur commun que vous avez trouvé précédemment, c’est-à-dire [x+3] [x – 5].
  - (x +4 +((1)/(x - 5))] × [x+3] [x-5]
  - = x [(x+3) (x-5)] + 4[(x+3) (x-5)] + [1/(x-5)] [x+3] [x-5]
  - = x [x² – 2x – 15] + 4[x² – 2x – 15] + [(x + 3) (x – 5)]/[x – 5]
  - = x³ – 2x² – 15x + 4x² – 8x – 60 + [x + 3]
  - = x³ + 2x² – 23x – 60 + [x+3]
  - =x³ + 2x² – 22x – 57
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Écrivez votre nouvelle fraction. Vous pouvez le faire en utilisant les expressions du numérateur et du dénominateur que vous venez de calculer. Multipliez votre fraction par l’expression [dénominateur commun]/[dénominateur commun] pour obtenir une fraction ne contenant aucun terme fractionnaire, ensuite simplifiez en combinant les termes semblables. Vous pouvez remarquer qu’en multipliant les termes fractionnaires de la fraction composée initiale par le dénominateur commun, vous avez réussi à simplifier ces termes en éliminant les fractions. Vous avez également obtenu des termes qui ne contiennent que des variables et des nombres entiers.
- Utilisez le numérateur et le dénominateur qui ont été calculés précédemment pour écrire une fraction équivalente à la fraction composée initiale, mais qui ne contient aucun terme fractionnaire. Le numérateur que vous avez obtenu était le suivant : x³ – 12x² + 6x + 145 et le dénominateur était x³ + 2x² – 22x – 57, ainsi votre nouvelle fraction s’écrit sous la forme : [x³ – 12x² + 6x + 145]/[x³ + 2x² – 22x – 57]
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Conseils

Montrez les étapes de votre résolution. Vous risquez de faire des erreurs si vous travaillez trop rapidement ou si vous essayez de simplifier vos fractions mentalement.
Trouvez des exemples de fractions composées en ligne ou dans votre manuel de mathématiques et résolvez-les. Suivez chaque étape progressivement et travaillez-la à fond pour bien la maîtriser.