Comment trouver l'aire d'un polygone régulier

Coécrit par David Jia

Un polygone régulier est une figure convexe en 2 dimensions dont les côtés sont congrus et dont les angles sont égaux. Pour de nombreux polygones, comme les quadrilatères ou les triangles, il existe des formules simples pour calculer leur aire. Toutefois, si vous avez affaire à un polygone possédant plus de quatre côtés, alors vous devriez utiliser une formule qui comprend l'apothème du polygone et son périmètre. Avec un peu d'effort, vous pourrez trouver l'aire de polygones réguliers en quelques minutes.

Partie 1

Partie 1 sur 2:

Calculer l'aire

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Calculez le périmètre. Le périmètre est une mesure de la longueur du contour de n'importe quelle figure en deux dimensions. Pour un polygone régulier, elle peut être calculée en multipliant la longueur d'un côté par le nombre de côtés présents (n ^{[1]
X
Source de recherche}).
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Déterminez l'apothème. L'apothème d'un polygone régulier est la distance la plus courte entre le point central et un des côtés, en formant un angle droit. C'est un peu plus compliqué à mesurer que le périmètre.
- La formule à employer pour calculer la longueur de l'apothème est la suivante : la longueur du côté (s) divisée par 2 fois la tangente (tan) de 180 degrés divisé par le nombre de côtés (n).
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Vous devez connaitre la bonne formule. L'aire de n'importe quel polygone régulier est donnée par la formule suivante : aire = (a x p)/2, où a est la longueur de l'apothème et p est le périmètre du polygone.
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Introduisez les valeurs de a et p dans la formule pour obtenir l'aire. Par exemple, prenons un hexagone (à 6 côtés) dont le côté possède une longueur (s) de 10 unités.
- Le périmètre est égal à 6 x 10 (n x s), ce qui vaut 60 (donc p = 60).
- L'apothème est calculé à partir de sa propre formule, en introduisant les valeurs de 6 et de 10 à la place de n et s respectivement. Le résultat de 2tan(180/6) vaut 1,1547 et 10 divisé par 1,1547 donne 8,66.
- L'aire du polygone est calculée de la façon suivante : aire = a x p / 2, soit 8,66 multiplié par 60 et divisé par 2. La solution est une aire est de 259,8 unités.
- Vous remarquerez également qu'il n'y a aucune parenthèse dans l'équation de l'aire, donc 8,66 divisé par 2 et multiplié par 60 vous donnera le même résultat que 60 divisé par 2 multiplié par 8,66.
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Partie 2

Partie 2 sur 2:

Comprendre les concepts

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Vous devez comprendre qu'un polygone régulier peut être vu comme une collection de triangles. Chaque côté représente la base d'un triangle et il y a autant de triangles dans le polygone qu'il y a de côtés. Les longueurs des bases, des hauteurs et les aires des triangles sont équivalentes ^{[2]
X
Source de recherche}.
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Souvenez-vous de la formule de l'aire d'un triangle. L'aire de n'importe quel triangle vaut 1/2 fois la longueur de la base (ce qui, dans un polygone, équivaut à la longueur d'un côté) multipliée par la hauteur (ce qui est équivalent à l'apothème dans les polygones réguliers ^{[3]
X
Source de recherche}).
3
Observez les similarités. Encore une fois, la formule d'un polygone régulier est égale à 1/2 fois l'apothème multiplié par le périmètre. Le périmètre est la longueur d'un côté multiplié par le nombre de côtés (n). Pour un polygone régulier, n représente aussi le nombre de triangles présents dans la figure. La formule n'est alors rien de plus que l'aire d'un triangle multipliée par le nombre de triangles présents dans le polygone ^{[4]
X
Source de recherche}.

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Conseils

Pour plus d'informations sur les racines carrées, vous pouvez lire l'article suivant : comment multiplier des racines carrées.
Si le dessin de votre octogone (ou autre figure) a été divisé en triangles et que l'aire de l'un des triangles est indiquée, vous n'avez alors plus besoin de connaitre l'apothème. Il vous suffit de prendre l'aire de ce triangle et de la multiplier par le nombre de côtés présents dans le polygone.