Comment trouver la coordonnée x du point d'intersection d'une équation avec l'axe des x

En mathématiques, lors de l'étude d'une fonction, il est souvent demandé de tracer le graphe de cette fonction dans un repère composé de deux axes, l'un horizontal (axe des x ou des abscisses) et l'autre, vertical (axe des y ou des ordonnées). Il arrive fréquemment que le graphe coupe un de ses deux axes, sinon les deux. L’ordonnée du point d'intersection de la courbe avec l'axe des y s'appelle l'ordonnée à l'origine, tandis que l’abscisse du point d'intersection de la courbe avec l'axe des x est l'abscisse à l'origine. La détermination des coordonnées de ce point peut se faire visuellement ou par le calcul.

Méthode 1

Méthode 1 sur 3:

Déterminer graphiquement l'abscisse (fonction affine)

1
Repérez l'axe des abscisses. Un repère dans le plan, orthonormé ou non, est constitué de deux axes : celui des abscisses (horizontal et gradué de gauche à droite) et celui des ordonnées (vertical et gradué de bas en haut ^{[1]
X
Source de recherche}). Trouvez sur l'axe des abscisses le point d'intersection de la droite avec cet axe : son abscisse est l'abscisse à l'origine.
2
Déterminez le point d'intersection de la droite et de l'axe des abscisses. Une fois trouvé, vous le marquerez d'un gros point bien visible, éventuellement d'une autre couleur ^{[2]
X
Source de recherche}. Si vous avez de la chance, la droite coupera votre axe sur une graduation, en 4 comme sur l'illustration. D'autres fois, le point peut être entre deux graduations, par exemple entre 4 et 5.
3
Rédigez votre résultat. Il vous sera demandé d'indiquer clairement les coordonnées de ce point sous la forme $P(x,y)$ $P(x,y)$ ^{[3]
X
Source de recherche}. La première coordonnée
( $x$ $x$ ) est donc l'abscisse à l'origine que vous avez lue (4) ou estimée (par exemple, 4,3), et correspond à la distance horizontale entre le 0 et le point d'intersection. Quant à la seconde coordonnée ( $y$ $y$ ), elle est dans ce cas-là de 0 ^{[4]
X
Source de recherche}.
- Si une droite coupe l'axe des abscisses en 4, alors les coordonnées du point d'intersection de la droite avec l'axe des abscisses sont $(4,0)$ .
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Méthode 2

Méthode 2 sur 3:

Déterminer par le calcul l'abscisse (fonction affine)

1
Voyez si vous avez affaire à une équation diophantienne. Une telle équation est en fait une équation polynomiale du type $ax+by=c$ $ax+by=c$ ^{[5]
X
Source de recherche}. Sous cette forme, $a$ $a$ , $b$ $b$ , et $c$ $c$ sont des entiers, et $x$ $x$ et $y$ $y$ sont les coordonnées d'un point appartenant à la droite.
- Prenons comme exemple l'équation de la fonction suivante : $2x+3y=6$ .
2
Remplacez $y$ par 0. Le point d'intersection avec l'axe des abscisses est le point du graphe qui coupe l'axe des abscisses ^{[6]
X
Source de recherche}. Par définition, ce point a pour ordonnée 0 ^{[7]
X
Source de recherche}. Vous devez donc poser $y=0$ $y=0$ afin de trouver la valeur de $x$ $x$ correspondante.
- Reprenons notre exemple et remplaçons $y$ par 0. L'équation se présente ainsi :
  $2x+3(0)=6$ , soit après calcul et simplification $2x=6$ .
3
Calculez $x$ . Le calcul consiste à isoler $x$ $x$ à gauche, puis à faire disparaitre son coefficient en divisant des deux côtés par ce même coefficient. La valeur que vous allez trouver est l'abscisse à l'origine, soit celle du point d'intersection avec l'axe des abscisses.
- Prenons un exemple :
  $2x=6$
  ${\frac {2x}{2}}={\frac {6}{2}}$
  $x=3$
4
Présentez votre résultat. À la fin de votre travail, vous devez rédiger votre réponse. Vous indiquerez clairement que le point d'intersection de la droite et de l'axe des $x$ $x$ a pour coordonnées l'abscisse que vous avez trouvée, l'ordonnée, quant à elle, est égale par définition à 0. En conséquence, les coordonnées d'une abscisse à l'origine se présentent toutes sous la forme $(x,0)$ $(x,0)$ ^{[8]
X
Source de recherche}.
- Pour la droite d'équation $2x+3y=6$ , le point d'intersection avec l'axe des abscisses a pour coordonnées $(3,0)$ .
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Méthode 3

Méthode 3 sur 3:

Déterminer par le calcul l'abscisse (équation du second degré)

1
Vérifiez que vous avez bien affaire à une équation du second degré. Une fonction du second degré a une équation qui peut se présenter sous sa forme développée : $f(x)=ax^{2}+bx+c=0$ $f(x)=ax^{2}+bx+c=0$ ^{[9]
X
Source de recherche}. Cette équation a deux racines (ou solutions), une seule ou aucune ! Quand il y en a deux, le graphe est une parabole qui peut couper, et c'est le cas que nous envisagerons, à deux reprises l'axe des abscisses ^{[10]
X
Source de recherche}.
- Prenons comme exemple la fonction $f(x)=x^{2}+3x-10$ . C'est bien une équation du second degré et celle-ci a deux racines, donc deux points d'intersection.
2
Calculez les racines de l'équation. La formule générale est :
$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ . Cette solution est double : $x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ et $x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ , avec $a$ le coefficient du terme au second degré ( $x^{2}$ ), $b$ le coefficient du terme au premier degré ( $x$ ), et $c$ la constante ^{[11]
X
Source de recherche}.
3
Faites l'application numérique. La formule n'étant pas dans l'ordre des coefficients, soyez attentif(ve) au moment de remplacer les variables.
- Nous cherchons les abscisses des points d'intersection, nous posons donc :
  $f(x)=y=0$ . Appliqué à notre exemple, cela donne $x^{2}+3x-10=0$ , et les solutions sont données par : $x={\frac {-(3)\pm {\sqrt {3^{2}-4(1)(-10)}}}{2(1)}}$
4
Simplifiez votre équation. Pour commencer, vous faites les produits (parenthèses) et soyez attentif aux signes (+ par - donne -).
- Reprenons notre exemple :
  $x={\frac {-3\pm {\sqrt {3^{2}-4(-10)}}}{2(1)}}$
  $x={\frac {-3\pm {\sqrt {3^{2}+40}}}{2}}$ .
5
Calculez la puissance. Élevez $b$ $b$ au carré, puis opérez la somme de ce qui est en radicande (sous le signe de la racine).
- Reprenons notre exemple :
  $x={\frac {-3\pm {\sqrt {3^{2}+40}}}{2}}$
  $x={\frac {-3\pm {\sqrt {9+40}}}{2}}$
  $x={\frac {-3\pm {\sqrt {49}}}{2}}$
6
Calculez la première racine ( $x_{1}$ ). En fait, il n'y a pas d'ordre, vous pouvez calculer celle que vous voulez en premier, celle avec le signe + ou l'autre avec le signe -. Faites toutes les opérations et réduisez éventuellement le résultat à sa plus simple expression.
- Reprenons notre exemple :
  $x_{1}={\frac {-3+{\sqrt {49}}}{2}}$
  $x_{1}={\frac {-3+7}{2}}$
  $x_{1}={\frac {4}{2}}$
  $x_{1}=2$
7
Calculez la seconde racine ( $x_{2}$ ). Vous ferez attention à ne pas prendre la même formule que précédemment, mais bien celle dont le signe entre $-b$ $-b$ et
${\sqrt {b^{2}-4ac}}$ ${\sqrt {b^{2}-4ac}}$ est l'opposé de la formule de la première racine. Calculez la racine, puis faites la somme en numérateur avant de diviser le tout par 2.
- Reprenons notre exemple :
  $x_{2}={\frac {-3-{\sqrt {49}}}{2}}$
  $x_{2}={\frac {-3-7}{2}}$
  $x_{2}={\frac {-10}{2}}$
  $x_{2}=-5$
8
Présentez votre résultat. Il vous était demandé de presenter les coordonnées des points d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses. Les coordonnées d'un point se présentent sous la forme $P(x,y)$ $P(x,y)$ . Ici, vous aurez deux points ( $P_{1}$ $P_{1}$ et $P_{2}$ $P_{2}$ ). $P_{1}$ $P_{1}$ aura pour coordonnées $(x_{1},0)$ $(x_{1},0)$ et $P_{2}$ $P_{2}$ $(x_{2},0)$ $(x_{2},0)$ . L'ordonnée est toujours égale à 0, car tout point sur l'axe des $x$ $x$ à une ordonnée de 0 ^{[12]
X
Source de recherche}.
- Pour la courbe (parabole) d'équation $x^{2}+3x-10=0$ , les deux points d'intersection avec l'axe des abscisses ont pour coordonnées $(2,0)$ (à droite) et
  $(-5,0)$ (à gauche).
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Conseils

Une fonction affine a une équation de la forme $y=ax+b$ , $a$ étant la pente (coefficient directeur) de la droite et $b$ l'ordonnée à l'origine. Pour trouver l'abscisse à l'origine, remplacez $y$ par 0, puis faites les calculs pour trouver la valeur de $x$ .