Comment trouver la factorisation entière en nombres premiers

Tout nombre entier naturel peut être décomposé en un produit de facteurs premiers. Si vous n'aimez pas travailler avec de grands nombres, comme 5 733, vous pouvez apprendre à les décomposer en produit de facteurs premiers (dans ce cas, cela fera 3 x 3 x 7 x 7 x 13). La factorisation entière en nombres premiers est indispensable en cryptographie, une discipline qui traite des techniques utilisées pour assurer la sécurité de l'information. Si vous n'êtes pas encore prêt à développer votre propre système de courriel sécurisé, apprenez d'abord à utiliser la décomposition en produit de facteurs premiers pour simplifier les fractions.

Partie 1
Partie 1 sur 2:

Décomposer un nombre en produit de facteurs premiers

  1. Image intitulée Find Prime Factorization Step 1
    1
    Comprenez ce qu'est la factorisation. Il s'agit d'un processus qui consiste à décomposer un nombre en parties simples. La multiplication de ces parties, encore appelées facteurs, est égale au nombre initial.
    • Par exemple, pour factoriser le nombre 18, vous devrez le décomposer comme suit : 1 x 18 ou 2 x 9 ou 3 x 6.
  2. Image intitulée 4593964 2
    2
    Souvenez-vous ce qu'on appelle nombre premier. Un nombre premier est un entier naturel qui n'a pas d'autres diviseurs positifs que lui-même et 1. Par exemple, le nombre 5 peut être exprimé comme un produit de 5 et 1. Ce nombre ne peut être décomposé en d'autres facteurs. Le but de la décomposition en produit de facteurs premiers d'un nombre est de le représenter sous la forme d'un produit de nombres premiers. Ce processus est très utile lorsque vous travaillez avec des fractions pour faciliter leur comparaison et leur utilisation dans les équations [1] .
  3. Image intitulée Find Prime Factorization Step 3
    3
    Commencez avec un nombre. Choisissez un nombre non premier supérieur à 3. Il ne sert à rien de prendre un nombre premier, puisqu'il ne peut être factorisé.
    • Exemple : essayons de trouver le produit de facteurs premiers de 24.
  4. Image intitulée Find Prime Factorization Step 4
    4
    Factorisez le nombre initial en deux nombres. Trouvons deux nombres plus petits dont le produit est égal au nombre de départ. Pour ce faire, vous pouvez utiliser n'importe quel multiplicateur, mais il est plus simple de prendre des nombres premiers. Une bonne stratégie consiste à diviser le nombre initial par 2, puis par 3, puis par 5, en choisissant graduellement des nombres premiers croissants jusqu'à ce que vous trouviez un diviseur propre.
    • Exemple : si vous ne connaissez pas les facteurs du nombre 24, essayez de le diviser par de petits nombres premiers. Quand on le divise par 2, on obtient 24 = 2 x 12. Vous n'avez pas encore terminé le travail, mais c'est un bon point de départ.
    • Puisque 2 est un nombre premier, il sera parfait à utiliser pour la décomposition des nombres pairs.
  5. Image intitulée Find Prime Factorization Step 5
    5
    Commencez à tracer un arbre de facteurs. Il s'agit d'une méthode graphique qui vous aidera à décomposer les nombres en facteurs premiers [2] . Pour commencer, tracez deux « branches » à partir du numéro initial. Écrivez les deux premiers facteurs à l'extrémité de ces segments.
    • Exemple :
    • 24
    • /\
    • 2 12
  6. Image intitulée Find Prime Factorization Step 6
    6
    Factorisez la prochaine ligne de nombres. Regardez les deux nouveaux nombres (la deuxième ligne de l'arbre) et demandez-vous s'ils sont des nombres premiers. Si l'un d'entre eux ne l'est pas, vous pouvez le diviser davantage en suivant toujours la même technique. Tracez deux autres branches à partir de ce nombre et écrivez deux nouveaux facteurs sur la troisième ligne.
    • Exemple : 12 n'étant pas un nombre premier, il devrait donc être factorisé à nouveau. Utilisez la paire de valeurs 12 = 2 x 6 et ajoutez ces nombres au diagramme :
    • 24
    • /\
    • 2 12
    • /\
    • 2 x 6
  7. Image intitulée Find Prime Factorization Step 7
    7
    Continuez à tracer d'autres lignes. Si l'un des nouveaux facteurs s'avère être un nombre premier, tracez une autre ligne et écrivez le même nombre à son extrémité. Il n'y a aucun moyen de le décomposer davantage, alors il suffit de le transférer au niveau inférieur.
    • Exemple : 2 est un nombre premier. Transférez simplement 2 de la deuxième à la troisième ligne.
    • 24
    • /\
    • 2 12
    • / /\
    • 2 2 6
  8. Image intitulée Find Prime Factorization Step 8
    8
    Continuez la décomposition jusqu'à obtenir que des nombres premiers. Vérifiez chaque nouvelle ligne de l'arbre de facteurs. Si l'un des nombres peut être factorisé, tracez une nouvelle ligne. Vous aurez fini de le décomposer dès que vous ne vous retrouvez qu'avec des nombres premiers.
    • Exemple : 6 n'étant pas un nombre premier, il devrait aussi être encore factorisé. Dans le même temps, 2 est un nombre premier, donc déplacez-le de la deuxième à la troisième ligne.
    • 24
    • /\
    • 2 12
    • / /\
    • 2 2 6
    • / / /\
    • 2 2 2 3
  9. Image intitulée Find Prime Factorization Step 9
    9
    Écrivez la dernière ligne comme une séquence de facteurs premiers. En fin de compte, vous n'aurez plus que des nombres premiers. Dans ce cas de figure, la factorisation est terminée. Alors, la décomposition en produit de facteurs premiers de notre nombre initial comprend les nombres sur la dernière ligne de l'arbre de facteurs.
    • Pour vérifier votre réponse, multipliez les nombres qui composent la dernière ligne : le produit doit être égal au nombre initial.
    • Exemple : la dernière ligne de l'arbre multiplicateur comprend les nombres 2 et 3. Ce sont des nombres premiers, vous avez donc terminé la décomposition. Ainsi, la décomposition du nombre 24 en facteurs premiers se présente comme suit : 24 = 2 x 2 x 2 x 3.
    • L'ordre des facteurs importe peu. L'expression peut également être réécrite sous la forme de 2 x 3 x 2 x 2.
  10. Image intitulée Find Prime Factorization Step 10
    10
    Simplifiez la séquence en utilisant des exposants. Si vous savez comment utiliser les exposants, vous pouvez réécrire votre réponse sous une forme plus simple. Souvenez-vous que l'exposant n'est rien d'autre que le nombre de fois que la base d'une puissance est multipliée par elle-même.
    • Exemple : dans la séquence 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3, déterminez combien de fois le chiffre 2 apparait. Puisqu'il apparait 3 fois, vous pouvez réécrire 2 x 2 x 2 x 2 x 2 comme suit 23. L'expression simplifiée devient : 23 x 3.
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Partie 2
Partie 2 sur 2:

Utiliser la factorisation entière en nombres premiers

  1. Image intitulée Find Prime Factorization Step 11
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    Trouvez le plus grand commun diviseur de deux nombres. Le plus grand commun diviseur (ou PGCD) de deux nombres est le plus grand entier qui les divise simultanément. L'exemple ci-dessous montre comment utiliser la factorisation entière en nombres premiers pour trouver le PGCD des nombres 30 et 36.
    • Trouvez la décomposition en produit de facteurs premiers des deux nombres. La décomposition en produit de facteurs premiers de 30 est de 2 x 3 x 5. Le nombre 36 est décomposé en produit de facteurs premiers comme suit : 2 x 2 x 3 x 3.
    • Trouvez le nombre qui apparait dans les deux séquences. Barrez-le et écrivez-le sur une nouvelle ligne. Par exemple, le chiffre 2 apparait dans les deux séquences, écrivez 2 sur une nouvelle ligne. On obtient donc 30 = 2 x 3 x 5 et 36 = 2 x 2 x 3 x 3.
    • Répétez le processus jusqu'à ce qu'il n'y ait plus de facteurs communs. Dans les séquences il y a aussi le nombre 3, alors écrivez-le sur la nouvelle ligne pour supprimer 2 et 3. Comparez 30 = 2 x 3 x 5 et 36 = 2 x 2 x 3 x 3. Comme on peut le voir, il n'y a pas d'autres facteurs communs.
    • Pour trouver le plus grand commun diviseur, multipliez tous les facteurs communs. Dans cet exemple, il n'y a que 2 et 3, donc le PGCD est 2 x 3 = 6. Il s'agit du plus grand entier qui est à la fois un facteur de 30 et de 36.
  2. Image intitulée Find Prime Factorization Step 12
    2
    Simplifiez les fractions à l'aide du PGCD. Vous pouvez utiliser le PGCD chaque fois que vous pensez qu'une fraction n'est pas sous sa forme la plus simple. Comme décrit ci-dessus, trouvez le PGCD du numérateur et du dénominateur. Ensuite, divisez les deux parties de la fraction par ce nombre [3] . La solution que vous obtenez est une fraction de valeur égale, mais exprimée sous une forme simplifiée.
    • Par exemple, simplifiez la fraction 30/36. Étant donné que le PGCD de ces nombres est 6, alors divisez le numérateur et le dénominateur par 6 :
    • 30 ÷ 6 = 5
    • 36 ÷ 6 = 6
    • 30/36 = 5/6
  3. Image intitulée 4593964 13
    3
    Trouvez le plus petit commun multiple de deux nombres. Le plus petit commun multiple (PPCM) de deux nombres est le plus petit entier qui soit à la fois multiple de ces deux nombres. Par exemple, le PPCM de 2 et 3 est 6 parce que ce dernier est à la fois un multiple de 2 et 3. L'exemple ci-dessous montre comment utiliser la factorisation entière en nombres premiers pour trouver le PPCM de deux nombres.
    • Commencez à décomposer deux nombres en facteurs premiers. Par exemple, pour le nombre 126, l'expression peut être écrite comme suit 2 x 3 x 3 x 7. Le nombre 84 est décomposé en facteurs premiers sous la forme 2 x 2 x 3 x 7.
    • Considérez chaque facteur unique et essayez de comparer le nombre de fois qu'il apparait dans chacune des séquences. Choisissez une liste où ce nombre apparait le plus de fois et encerclez-le dans chaque expression. Par exemple, le chiffre 2 apparait une fois dans la séquence de 126, mais deux fois dans la séquence de 84. Alors, encerclez 2 x 2 dans la deuxième séquence.
    • Répétez cette étape pour chaque facteur individuel. Par exemple, le chiffre 3 apparait plus fréquemment dans la première séquence, alors encerclez 3 x 3. Le chiffre 7 n'est présent qu'une seule fois dans chaque séquence, alors encerclez 7 une seule fois, peu importe la séquence que vous choisissez.
    • Multipliez tous vos nombres encerclés pour trouver le PPCM. Si l'on considère l'exemple ci-dessus, le PPCM de 126 et 84 est 2 x 2 x 3 x 3 x 7 = 252. Il s'agit du plus petit nombre qui soit à la fois un multiple de 126 et 84.
  4. Image intitulée Find Prime Factorization Step 14
    4
    Utilisez le PPCM pour additionner les fractions. Avant de faire cela, vous devez réduire les fractions au même dénominateur. Trouvez le plus petit commun multiple des deux dénominateurs. Ensuite, multipliez chaque fraction pour que le nouveau dénominateur soit le PPCM. Après avoir réécrit les deux fractions, vous pouvez les additionner.
    • Par exemple, supposons que vous devez résoudre 1/6 + 4/21.
    • En utilisant la méthode ci-dessus, vous pouvez trouver le PPCM de 6 et 21. La réponse est 42.
    • Transformez 1/6 en une fraction dont le dénominateur est 42. Pour ce faire, résolvez 42 ÷ 6 = 7. Multipliez 1/6 x 7/7 = 7/42.
    • Pour transformer 4/21 en une fraction dont le dénominateur est 42, résolvez 42 ÷ 21 = 2. Multipliez 4/21 x 2/2 = 8/42.
    • Maintenant, les fractions ont le même dénominateur et vous pouvez facilement les additionner : 7/42 + 8/42 = 15/42.
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Résoudre quelques problèmes mathématiques

  • Essayez de résoudre vous-même les problèmes suivants. Pour vérifier votre solution, sélectionnez avec la souris l'espace après le deux-points pour afficher la réponse. Les problèmes au bas de la liste sont plus complexes.
  • Trouvez la décomposition en produit de facteurs premiers de 16 2 x 2 x 2 x 2
  • Réécrivez votre réponse sous une forme de puissance 24
  • Trouvez la décomposition en produit de facteurs premiers de 16 3 x 3 x 5
  • Réécrivez votre réponse sous une forme de puissance 32 x 5
  • Trouvez la décomposition en produit de facteurs premiers de 34 2 x 17
  • Décomposez le nombre 154 en facteurs premiers 2 x 7 x 11
  • Décomposez les nombres 8 et 40 en facteurs premiers, puis déterminez le plus grand commun diviseur. La décomposition en produit de facteurs premiers de 8 est 2 x 2 x 2 x 2. Le nombre 40 est décomposé en facteurs premiers sous la forme 2 x 2 x 2 x 5. Leur PGCD est 2 x 2 x 2 = 6
  • Décomposez les nombres 18 et 52 en facteurs premiers, puis déterminez le plus petit commun multiple. La décomposition en produit de facteurs premiers de 18 est 2 x 3 x 3. Celle de 52 est 2 x 2 x 13. Le PPCM est 2 x 2 x 3 x 3 x 13 = 468.

Conseils

  • Tout entier peut être écrit comme un produit de nombres premiers d'une unique façon. Peu importe les facteurs que vous choisissez, vous obtiendrez ce résultat unique. Il s'agit du théorème fondamental de l'arithmétique [4] .
  • Au lieu de réécrire les nombres premiers chaque fois sur une nouvelle ligne, laissez-les à leur place et encerclez-les simplement. Lorsque vous aurez terminé la factorisation, tous les chiffres encerclés seront les facteurs premiers.
  • Assurez-vous de toujours vérifier votre solution. Il peut arriver que vous fassiez des erreurs insignifiantes et ne les remarquiez même pas.
  • Faites attention aux questions pièges. Si dans un problème l'on vous demande de décomposer un nombre premier en produit de facteurs premiers, sachez qu'il n'est pas nécessaire d'effectuer des calculs [5] . La décomposition en produit de facteurs premiers de 17 est simplement 1 et 17 et rien d'autre.
  • Vous pouvez trouver le plus grand commun diviseur et le plus petit commun multiple de trois nombres ou plus.
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Avertissements

  • L'arbre de facteurs ne vous permet pas de trouver tous les facteurs possibles, mais juste les nombres premiers.
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Références

  1. ↑ http://www.eduplace.com/math/mw/background/6/03/te_6_03_fractions_ask.html
  2. ↑ http://study.com/academy/lesson/what-is-a-factor-tree-definition-example.html
  3. ↑ http://www.virtualnerd.com/tutorials/?id=Gr6_04_01_0014
  4. ↑ http://www.mathsisfun.com/numbers/fundamental-theorem-arithmetic.html
  5. ↑ http://www.mathsisfun.com/prime-factorization.html

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