Comment trouver la pente d'une droite à l'aide de deux points

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Dans l'étude des fonctions affines, on est fréquemment amené à calculer ou à utiliser le coefficient directeur (appelé aussi pente) de la fonction, que ce soit pour tracer son graphe ou pour calculer les points d'intersection de cette droite avec les axes des abscisses ou des ordonnées. La pente d'une droite est en fait son inclinaison ^{[1]
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Source de recherche}, c'est-à-dire le rapport entre le déplacement vertical d'une droite et son déplacement horizontal. Cette pente, ou coefficient directeur est facile à trouver dès lors que l'on connait deux points de la droite.

Partie 1

Partie 1 sur 2:

Bien poser le problème

1
Comprenez bien la formule de la pente. La pente d'une droite est le rapport du déplacement vertical au déplacement horizontal entre deux points de cette droite. Le déplacement vertical est la distance verticale entre ces deux points, tandis que le déplacement horizontal est la distance horizontale entre ces mêmes points.
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Choisissez deux points sur la droite. Vous noterez leurs coordonnées. Peu importe les deux points que vous prenez à la condition qu'ils se trouvent sur la droite.
- Cette méthode peut être utilisée de façon abstraite. Il n'est pas nécessaire d'avoir le graphe sous les yeux, il suffit d'avoir deux points de cette droite.
- Les coordonnées d'un point se présentent sous la forme $(x,y)$ , $x$ étant l'abscisse (sa position sur l'axe horizontal des « x »), et $y$ , l'ordonnée (sa position sur l'axe vertical des « y »).
- Pour l'exemple, nous prendrons les deux points suivants : $(3,2)$ et $(7,8)$ , tous deux appartenant à la même droite.
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Identifiez ces deux points sur la droite. Conventionnellement, le premier point est appelé A, tandis que le second est le B. Peu importe quel point est le A ou le B, ce qui va compter ici est de ne pas mélanger les coordonnées ^{[2]
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Source de recherche}.
- Les coordonnées du premier point sont appelées $(x_{A},y_{A})$ , tandis que celles du second point sont $(x_{B},y_{B})$ .
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Posez la formule de la pente. La formule est la suivante : ${\frac {d{\acute {e}}placement\ vertical}{d{\acute {e}}placement\ horizontal}}={\frac {y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}}$ . La variation d'ordonnées donne le déplacement vertical, et celle des abscisses donne le déplacement horizontal ^{[3]
X
Source de recherche}.

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Partie 2

Partie 2 sur 2:

Déterminer le déplacement vertical et le déplacement horizontal

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Faites l'application numérique pour les ordonnées. Ne mélangez surtout pas les abscisses et les ordonnées, et veillez à mettre les bonnes ordonnées dans le bon sens de la soustraction.
- Reprenons les coordonnées du premier point, à savoir $(3,2)$ , et celles du second point, $(7,8)$ , la formule de calcul de la pente sera la suivante :
  ${\frac {d{\acute {e}}placement\ vertical}{d{\acute {e}}placement\ horizontal}}={\frac {8-2}{x_{B}-x_{A}}}$
2
Faites l'application numérique pour les abscisses. Là encore, ne mélangez pas les abscisses et les ordonnées, et veillez à mettre les bonnes abscisses dans le bon sens de la soustraction.
- Reprenons les coordonnées du premier point, soit $(3,2)$ , et celles du second point, $(7,8)$ , la formule de calcul de la pente sera la suivante :
  ${\frac {d{\acute {e}}placement\ vertical}{d{\acute {e}}placement\ horizontal}}={\frac {8-2}{7-3}}$
3
Soustrayez les ordonnées. Vous obtiendrez ainsi le déplacement vertical.
- Ainsi, si les deux ordonnées sont $8$ et $2$ , vous devez calculer : $8-2=6$
4
Soustrayez les abscisses. Vous obtiendrez ainsi le déplacement horizontal.
- Ainsi, si les deux abscisses sont $7$ et $3$ , vous devez calculer : $7-3=4$
5
Simplifiez éventuellement la fraction. Ce faisant, vous obtiendrez la pente de votre droite.
- Pour simplifier une fraction dans les règles de l'art, n'hésitez pas à consulter cet article.
- Ainsi, la fraction ${\frac {6}{4}}$ se simplifie pour donner ${\frac {3}{2}}$ : la droite qui passe par les points $(3,2)$ et $(7,8)$ a une pente de ${\frac {3}{2}}$ .
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Faites attention aux signes. En effet, une pente peut être positive tout comme négative. Visuellement, une droite avec une pente positive croît de la gauche vers la droite, alors qu'une droite avec une pente négative décroit toujours de la gauche vers la droite.
- Souvenez-vous aussi qu'une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont tous deux négatifs sera positive. En effet, selon une des propriétés de la division, la division d'une valeur négative par une autre également négative donne un résultat positif : la pente sera donc positive.
- Si le numérateur et le dénominateur sont de signes opposés, l'un positif et l'autre négatif, la fraction (et donc la pente) sera négative.
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Vérifiez graphiquement vos résultats. D'un côté, vous avez votre pente, sous forme d'une fraction ou d'un nombre entier. Sur le graphique, partez du premier point, appliquez le déplacement vertical (ici, 3 unités), puis horizontal (ici, 2 unités). Recommencez cette manœuvre autant de fois que nécessaire pour atteindre le second point.
- Si vous n'arrivez pas au second point, c'est que vous avez commis une erreur quelque part.
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Conseils

Le coefficient directeur (pente) est souvent appelé $a$ . Une fois que vous avez trouvé ce dernier, vous pourrez écrire l'équation de la droite sous la forme : $y=ax+b$ , équation dans laquelle $a$ est le coefficient directeur (pente) de la droite et $b$ est l'ordonnée à l'origine (quand $x=0$ ).