سرعة مساحية

${\displaystyle [{\dot {A}}]={\frac {[A]}{[t]}}={\frac {\mathrm {L^{2}} }{\mathrm {T^{1}} }}=\mathrm {L^{2}} \cdot {\mathrm {T} ^{-1}}.}$ الوحدة المشتقة للنظام العالمي للوحدات هي المتر المربع في الثانية.

لتحديد المساحة ${\displaystyle OMM'}$، تُقرب إلى مساحة المثلث ${\displaystyle OMM'}$. ${\displaystyle OMM'=\mathrm {d} A={\frac {1}{2}}\cdot OM\cdot OM'\cdot sin({\widehat {MOM'}})}$.
و منه: ${\displaystyle \mathrm {d} A={\frac {1}{2}}\rho (\rho +\mathrm {d} \rho )sin(\mathrm {d} \theta )}$ نهمل الفرق الطفيف ${\displaystyle \mathrm {d} \rho }$ أمام قيمة ${\displaystyle \rho }$,
وكذلك تقرب ${\displaystyle sin(\mathrm {d} \theta )}$ إلى ${\displaystyle \mathrm {d} \theta }$ حيث أن الزاوية تؤول إلى الصفر. نجد إذن مساحة المثلث المتناهي في الصغر ${\displaystyle OMM'}$:

${\displaystyle dA={\frac {1}{2}}\rho ^{2}\mathrm {d} \theta }$.

وبالتالي السرعة المساحية في الإحداثيات القطبية:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}={\frac {1}{2}}\rho ^{2}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}}$.

تعطى مساحة المثلث المتناهي في الصغر ${\displaystyle OMM'}$ بحساب المحدد:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} A&={\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x&x+\mathrm {d} x&0\\y&y+\mathrm {d} y&0\\0&0&1\end{vmatrix}}={\frac {1}{2}}(x\mathrm {d} y-y\mathrm {d} x)\end{aligned}}}$

ومنه نستخرج السرعة المساحية بالنسبة للإحداثيات الكارتيزية :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}={\frac {1}{2}}\left(x{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}-y{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)}$