جداء ثلاثي

التفسير الهندسي للجداء الثلاثي غير متجه

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )}$

هو حجم متوازي السطوح الممثل بثلاثة متجهات.

• لا يتأثر الجداء الثلاثي غير المتجة بالإزاحة الدورانية ويتكون من ثلاثة متجهات (a, b, c):

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )}$

• استبدال المتجهين في الجداء الاتجاهي يعكس إشارة ناتج الجداء الثلاثي:

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=-\mathbf {a} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {b} )}$

تستخدم بعض الرميزات الأخرى للتعبير عن الضرب الثلاثي غير المتجه مثل: ${\displaystyle ({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}}$.

وكذلك: ${\displaystyle [{\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}]}$ و ${\displaystyle \langle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}\rangle }$.

عملية الضرب الثلاثي غير المتجه ليست عملية تبديلية. ولكن قيمته لا تتغير إذا بادلنا المعاملات تبديلا دورانيا:

${\displaystyle ({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}=({\vec {b}}\times {\vec {c}})\cdot {\vec {a}}=({\vec {c}}\times {\vec {a}})\cdot {\vec {b}}}$.

• ويمكن حساب الجداء الثلاثي بواسطة المحددات، فمثلا ينطبق علي المعادلة:

${\displaystyle {\vec {a}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}},\ {\vec {b}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}},\ {\vec {c}}={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\end{pmatrix}}}$

ينطبق عليها أن يكون:

${\displaystyle ({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})=\det {\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{pmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{pmatrix}}}$

ويمكن إثبات ذلك بإجراء الحساب:

• حيث أن الضرب القياسي يكون عملية تبديلية، فنحصل على:

${\displaystyle ({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}={\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}\times {\vec {c}})}$.

أي باختيار أقواسا مناسبة يمكن تبديل العلامات الحسابية.

• وبعكس التبادل الدوراني ينتج عند إجراء تبادل دوراني مضاد تغيير للإشارة:

${\displaystyle \left({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}\right)=-\left({\vec {b}},{\vec {a}},{\vec {c}}\right)}$

• كما أنه نظرا إلى أن ${\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {a}}={\vec {0}}}$ يكون:

${\displaystyle \left({\vec {a}},{\vec {a}},{\vec {b}}\right)=0}$

• والضرب في كمية غير متجهة ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$ تنتج:

${\displaystyle \left(\alpha \cdot {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}\right)=\alpha \cdot \left({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}\right)}$

وهي عملية تسمى عملية تجميعية.