عملية تبديلية

مثال يظهر العملية التبادلية في عملية جمع التفاح (3+2 = 2+3)، والذي يمكن النظر إليه على أنه جمعٌ في مجموعة الأعداد الطبيعية.

• عملية التشفير وفك التشفير في أمن المعلومات الحاسوبية تعدّ عمليةً تبادليةً، حيث إن فك التشفير لا يهتم بترتيب التشفير، وكمثالٍ على ذلك لعبة البوكر العقلية.
• يعتبر ارتداء الحذاء عمليةً تبادليةً، لأنه لا يهم إذا مابدأتِ العملية بالقدم اليسرى أم اليمنى. وبالمثل يشبه ارتداء الجوارب عمليةً تبادليةً حيث إن ارتداء أيٍّ من الجوربين أولاً غير مهمٍّ، ففي كلتا الحالتين النتيجة (ارتداء كلا الجوربين) هي نفسها. في المقابل فإن ارتداء الملابس الداخلية والسراويل ليس تبادلياً.
• تلاحظ تبادلية "عملية الجمع" عند الدفع مقابل عنصرٍ ما نقداً، فبغضّ النظر عن ترتيب تسليم الإيصالات (الفواتير)، فإنها دائماً تظهر الإجمالي نفسه.

تعتبر إضافة "المتجهات" (الأشعة) تبادليةً، لأن:
${\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}={\vec {b}}+{\vec {a}}}$.

مثالان مشهوران للعمليات الثنائية التبادلية:[7]

• جمع "الأعداد الحقيقية" تبادلي طالما أن:

$${\displaystyle y+z=z+y\qquad {\mbox{for all }}y,z\in \mathbb {R} }$$

على سبيل المثال: "4 + 5 = 5 + 4" بما أن كلا التعبيرين يساوي 9.

• ضرب "الأعداد الحقيقية" تبادلي طالما أن:

$${\displaystyle yz=zy\qquad {\mbox{for all }}y,z\in \mathbb {R} }$$

على سبيل المثال: "3 × 5 = 5 × 3" بما أن كلا التعبيرين يساوي 15.

كنتيجةٍ مباشرةٍ لهذا فإنه من الصحيح أيضاً أن التعبيرات على الشكل y٪ من z، وكذلك z٪ من y هي تبادلية لجميع "الأعداد الحقيقية" y وz [9] على سبيل المثال فإن: 64٪ من 50 = 50٪ من 64، لأن كلا التعبيرين يساوي 32، كما أن: 30٪ من 50٪ = 50٪ من 30٪، لأن كلا التعبيرين يساوي 15٪.

• بعض وظائف الأعداد الحقيقية الثنائية هي -كذلك- تبادلية، لأن جداول الأعداد الحقيقية للوظائف تبقى ذاتها عندما يغير المرء ترتيب المعاملات.

فعلى سبيل المثال الدالة المنطقية ثنائية الشرط p ↔ q تكافئ q ↔ p. تكتب هذه الوظيفة أيضاً على الشكل p IFF q، أو على الشكل p ≡ q، أو على الشكل Epq.

والشكل الأخير هو مثال على التدوين الأكثر إيجازاً في المقالة حول وظائف الأعداد الحقيقية، والذي يسرد ستة عشر دالةً للأعداد الحقيقية الثنائية المحتملة، ثمانية منها تبادلية:

• Vpq = Vqp؛
• Apq (OR) = Aqp؛
• Dpq (NAND) = Dqp؛
• Epq (IFF) = Eqp؛
• Jpq = Jqp؛
• Kpq (AND) = Kqp؛
• Xpq (NOR) = Xqp؛
• Opq = Oqp.
• تتضمن الأمثلة الأخرى للعمليات الثنائية التبادلية جمع الأعداد المركبة وضربها، بالإضافة إلى الضرب القياسي للمتجهات (الأشعة)، وتقاطع المجموعات واتحادها.

• تسلسل الحروف، إن عملية تبديل ترتيب الحروف في الكلمة الواحدة هو عملية غير تبادليةٍ، لأنه بتغير أماكن الحروف غالباً ما تنتج كلمة جديدة تختلف عن الكلمة الأصلية كالإبدال بين القاف والراء في "قاربَ"، و"راقبَ" مثلاً.
  كذلك الأمر: EA + T = EAT ≠ TEA = T + EA.
• يشبه غسيل وتنشيف الملابس عمليةً غير تبادليةٍ، إذ يؤدي الغسيل ثم التجفيف إلى نتيجةٍ مختلفةٍ بشكلٍ ملحوظٍ عن التجفيف ثم الغسيل.
• يؤدي تدوير الكتاب بمقدار 90 درجة حول محورٍ عموديٍّ ثم بـ 90 درجة حول محورٍ أفقيٍّ إلى إنتاج اتجاهٍ مختلفٍ عما هو عليه عند إجراء التدويرات بالترتيب المعاكس.
• حركات أي لغزٍ تركيبيٍّ (مثل تقليبات "مكعب روبيك" على سبيل المثال) غير تبادليةٍ. يمكن دراسة ذلك باستخدام نظرية المجموعة.
• عمليات التفكير غير تبادليةٍ: إذا طرح شخص سؤالاً (أ)، ثم السؤال (ب) فقد يعطي إجاباتٍ مختلفةً لكل سؤالٍ عن شخصٍ طرح أولاً (ب)، ثم (أ)، لأن طرح سؤالٍ ما قد يغير حالة عقل الشخص، [واتجاه تفكيره].
• فعل ارتداء الملابس إما تبادلي وإما غير تبادليٍّ اعتماداً على العناصر، فارتداء الملابس الداخلية، والملابس العادية غير قابلٍ للتبديل، في حين إن ارتداء الجوارب اليمنى واليسرى تبادلي (لا يهم أيهما أولاً طالما النتيجة واحدة)، وكذا الحال في انتعال الأحذية.
• خلط مجموعة أوراق اللعب أمر غير تبادلي. بالنظر إلى طريقتين A، وB لخلط مجموعة أوراق اللعب، فإن القيام بـ A أولاً ثم B بشكلٍ عامٍّ يختلف عن القيام بـ B أولاً ثم A.

تعتبر العمليات الرياضية "الطرح" (بالإنجليزية: Subtraction)‏، و"القسمة" (بالإنجليزية: Division)‏، و"الرفع إلى أس" (بالإنجليزية: Exponentiation)‏ بعض العمليات الثنائية غير التبادلية:[10]

• الطرح غير تبادليٍّ بما أن:

${\displaystyle 0-1\neq 1-0}$.

وعلى كلٍّ يجري تصنيف "الطرح" بشكلٍ أكثرَ دقةً على أنه "عكس التبادل" (بالإنجليزية: anti-commutative)‏ حيث: ${\displaystyle 0-1=-(1-0)}$.

• القسمة غير تبادليةٍ بما أن:

${\displaystyle 1\div 2\neq 2\div 1}$.

• الرفع إلى أس غير تبادليٍّ بما أن:

${\displaystyle 2^{3}\neq 3^{2}}$.

بعض دوالِّ مجموعة الأعداد الحقيقية غير تبادليةٍ، لأن جداول هذه المجموعة للدوالِّ تختلف عندما يغير المرء ترتيب المعاملات (بالإنجليزية: operands)‏. على سبيل المثال جداول الأعداد الحقيقية لـ (A ⇒ B) = (A ∨ B¬) و (B ⇒ A) = (A ∨ ¬B) هي:

حيث F = خطأ، T = صحيح.

تصوير تخطيطي لدالّةٍ رياضيةٍ (تابعٍ رياضيٍّ) موصوفةٍ مجازياً على أنها "آلة"، أو "الصندوق الأسود" ينتج عنها مخرجات مقابلة لكل إدخال.

التركيب الدالّي للدوالِّ الخطيةِ (بالإنجليزية: linear functions)‏ من الأعداد الحقيقية إلى الأعداد الحقيقية يكاد يكون دائماً غير تبادليٍّ. على سبيل المثال لنفرض:
${\displaystyle f(x)=2x+1}$ and ${\displaystyle g(x)=3x+7}$.

ثم:

${\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))=2(3x+7)+1=6x+15}$

وكذلك:

${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))=3(2x+1)+7=6x+10}$

ينطبق هذا أيضاً بشكلٍ أكثرَ عموميةً على التحولات الخطية والمرتبطة من فضاءٍ متجهٍ إلى نفسه (انظر أدناه للحصول على تمثيل المصفوفة).

غالباً ما تكون عملية ضرب المصفوفات للمصفوفات المربعة غير تبادليّةٍ، على سبيل المثال:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&2\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}\neq {\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}}$

منتج "المتجه" (أو المنتج العرضي) لمتجهين في ثلاثة أبعادٍ هو مضاد للتبادل؛ مثال:
b × a = −(a × b).

في المنطق الافتراض الدالّي للأعداد الحقيقية يشير التخفيف،[16][17] أو التبادلية[18] إلى قاعدتين صالحتين للاستبدال. تسمح القواعد للمرء بنقل المتغيرات المقترحة ضمن التعبيرات المنطقية في البراهين المنطقية. والقواعد هي:

${\displaystyle (P\lor Q)\Leftrightarrow (Q\lor P)}$

و :${\displaystyle (P\land Q)\Leftrightarrow (Q\land P)}$
حيث: "${\displaystyle \Leftrightarrow }$" هو رمز منطقي يمثل [عبارة] "يمكن استبداله في برهان بـ".

التبادلية خاصية لبعض الوصلات المنطقية للمنطق الافتراضى الدالّي للأعداد الحقيقية. توضح المعادلات المنطقية التالية أن التبادل هو خاصية لوصلاتٍ معينةٍ. فيما يلي عرض دالّي للأعداد الحقيقية.

تبادلية الاقتران:${\displaystyle (P\land Q)\leftrightarrow (Q\land P)}$ تبادلية الانفصال:${\displaystyle (P\lor Q)\leftrightarrow (Q\lor P)}$ تبادلية التضمين (وتسمى أيضاً قانون التقليب):${\displaystyle (P\leftrightarrow Q)\leftrightarrow (Q\leftrightarrow P)}$

ترتبط "الخاصية الترابطية" (بالإنجليزية: Associativity)‏ ارتباطاً وثيقاً بالخاصية التبادلية. إذ تنص "الخاصية الترابطية" للتعبير الذي يحتوي على تكررين أو أكثر للعامل نفسه على أن ترتيب العمليات التي يجري تنفيذها لا يؤثر على النتيجة النهائية طالما أن ترتيب المصطلحات لا يتغير. في المقابل تنص "الخاصية التبادلية" على أن ترتيب الشروط terms لا يؤثر على النتيجة النهائية.

معظم العمليات التبادلية التي جرت معاينتها في الممارسة هي أيضاً ترابطية. ومع ذلك فإن التبادلية لا تعني الترابط [بالضرورة]. المثال المضاد يبين الأمر:

${\displaystyle f(x,y)={\frac {x+y}{2}}}$

هذا المثال -مع أنه تبادلي واضح (حيث لا يؤثر تبادل x وy على النتيجة)- إلا أنه ليس ترابطياً بما أنه على سبيل المثال: ${\displaystyle f(-4,f(0,+4))=-1}$
ولكن ${\displaystyle f(f(-4,0),+4)=+1}$

يمكن العثور على المزيد في العديد من مجموعة الأمثلة التبادلية غير الترابطية.

رسم بياني يوضح تناظر (بالإنجليزية: Symmetry)‏ دالة الجمع.

يمكن ربط بعض أشكال التناظر (بالإنجليزية: Symmetry)‏ بشكلٍ مباشرٍ بالتبادل. عندما تجري كتابة عمليةٍ تبادليةٍ كدالّةٍ ثنائيةٍ ${\displaystyle z=f(x,y)}$ فإن هذه الوظيفة تسمى دالةً متماثلةً، ويكون الرسم البياني الخاص بها في الفضاء ثلاثي الأبعاد متماثلاً عبر المستوي ${\displaystyle y=x}$.

على سبيل المثال إذا جرى تعريف الدالّة f على أنها ${\displaystyle f(x,y)=x+y}$ إذن ${\displaystyle f}$ هي دالة متماثلة.

وبالنسبة إلى العلاقات تكون العلاقة المتماثلة مطابقةً لعمليةٍ تبادليةٍ حيث إذا كانت العلاقة R متماثلةً، فإن:
${\displaystyle aRb\Leftrightarrow bRa}$.

• Axler, Sheldon (1997)، Linear Algebra Done Right, 2e، Springer، ISBN 0-387-98258-2.

  Abstract algebra theory. Covers commutativity in that context. Uses property throughout book.

• Copi, Irving M.؛ Cohen, Carl (2005)، Introduction to Logic (ط. 12th)، Prentice Hall، ISBN 9780131898349.
• Gallian, Joseph (2006)، Contemporary Abstract Algebra (ط. 6e)، Houghton Mifflin، ISBN 0-618-51471-6.

  Linear algebra theory. Explains commutativity in chapter 1, uses it throughout.

• Goodman, Frederick (2003)، Algebra: Abstract and Concrete, Stressing Symmetry (ط. 2e)، Prentice Hall، ISBN 0-13-067342-0.

  Abstract algebra theory. Uses commutativity property throughout book.

• Hurley, Patrick J.؛ Watson, Lori (2016)، A Concise Introduction to Logic (ط. 12th)، Cengage Learning، ISBN 978-1-337-51478-1.

• Lumpkin, B. (1997)، "The Mathematical Legacy Of Ancient Egypt — A Response To Robert Palter" (PDF) (Unpublished manuscript)، مؤرشف من الأصل (PDF) في 13 يوليو 2007. {{استشهاد بدورية محكمة}}: Cite journal requires |journal= (مساعدة)

  Article describing the mathematical ability of ancient civilizations.

• Gay, Robins R.؛ Shute, Charles C. D. (1987)، The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text، British Museum، ISBN 0-7141-0944-4.

  Translation and interpretation of the بردية ريند الرياضية.

• Hazewinkel, Michiel, المحرر (2001)، "Commutativity"، Encyclopedia of Mathematics، سبرنجر، ISBN 978-1-55608-010-4
• Krowne, Aaron, قالب:PlanetMath, Accessed 8 August 2007.

  Definition of commutativity and examples of commutative operations

• إيريك ويستاين، Commute، ماثوورلد Mathworld (باللغة الإنكليزية).

, Accessed 8 August 2007.

• Explanation of the term commute

• "Yark". قالب:PlanetMath, Accessed 8 August 2007

  Examples proving some noncommutative operations

• O'Conner, J.J.؛ Robertson, E.F.، "History of real numbers"، MacTutor، اطلع عليه بتاريخ 08 أغسطس 2007.

  Article giving the history of the real numbers

• Cabillón, Julio؛ Miller, Jeff، "Earliest Known Uses Of Mathematical Terms"، اطلع عليه بتاريخ 22 نوفمبر 2008.

  Page covering the earliest uses of mathematical terms

• O'Conner, J.J.؛ Robertson, E.F.، "biography of François Servois"، MacTutor، اطلع عليه بتاريخ 08 أغسطس 2007.

  Biography of Francois Servois, who first used the term

• بوابة جبر
• بوابة رياضيات
• بوابة الفيزياء