زمرة غالوا

في الرياضيات، وبالتحديد في فرع من فروع الجبر التجريدي يسمى نظرية غالوا، زمرة غالوا (بالإنجليزية: Galois group)‏ لصنف معين من امتدادات الحقول هو زمرة معينة...

ليكن ${\displaystyle L\!}$ حقل امتداد ${\displaystyle K\!}$ ويُرمز لها بـ${\displaystyle L\!/K\!}$، وليكن ${\displaystyle G\!}$ مجموعة التماثلات الذاتية لـ${\displaystyle L\!/K\!}$، أو بعبارة أخرى لنأخذ مجموعة التماثلات الذاتية ${\displaystyle \sigma }$ من ${\displaystyle L\!}$ حيث ${\displaystyle \sigma (x)=x}$ لكل ${\displaystyle x\in K\!}$، فبالتالي تكون ${\displaystyle K\!}$ محددة. فالزمرة ${\displaystyle G\!}$ هي زمرة تحاويل ${\displaystyle L\!}$ وتسمى زمرة غالوا (بالإنجليزية: Galois group)‏ لـ${\displaystyle L\!/K\!}$، ويُرمز لها بـ${\displaystyle \operatorname {Gal} (L\!/K\!)}$ أو ${\displaystyle \operatorname {Aut} (L\!/K\!)}$.

ليكن ${\displaystyle f(x)}$ متعددة حدود كسرية من الدرجة ${\displaystyle n}$ ودع ${\displaystyle K\!}$ حقل انشطار ${\displaystyle f(x)}$ على ${\displaystyle \mathbb {Q} }$، أي أن الحقل الجزئي الأصغر من ${\displaystyle \mathbb {C} }$ يضم كل جذور ${\displaystyle f}$. وبالتالي فكل عنصر من عناصر زمرة غالوا ${\displaystyle G\!}$ يبدل جذور ${\displaystyle f}$ بطريقة فريدة. وبالتالي يمكن تعريف ${\displaystyle G\!}$ زمرةً جزئية من الزمرة المتماثلة ${\displaystyle S_{n}}$، وهي زمرة تباديل جذور ${\displaystyle f}$. إذا كانت ${\displaystyle f}$ غير قابلة للاختزال، تكون ${\displaystyle G\!}$ زمرة جزئية متعدية من ${\displaystyle S_{n}}$، أي أنه بإعطاء الجذرين ${\displaystyle \alpha }$ و ${\displaystyle \beta }$ لـ${\displaystyle f}$، يوجد عنصر ${\displaystyle \sigma }$ من ${\displaystyle G\!}$ حيث يكون ${\displaystyle \sigma (\alpha )=\beta }$.[1]