امتداد الحقول

حقل جزئي من حقل L هو مجموعة جزئية K من L، تشكل هي الأخرى حقلا نظرا إلى العمليتين اللتان تعرفان الحقل الكلي L. بشكل مكافئ، حقل جزئي هو مجموعة جزئية تحتوي على الواحد ومنغلقة تحت عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة، وتقبل عنصرا معاكسا لكل عنصر مختلف عن الصفر من K.

ليكن L حقلا. حقل جزئي من L هو مجموعة جزئية K من L، تحقق شرط الانغلاق

حقل الأعداد المركبة ${\displaystyle \mathbb {C} }$ هو امتداد لحقل الأعداد الحقيقية ${\displaystyle \mathbb {R} }$. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ هي بدورها امتداد لحقل مجموعة الأعداد الجذرية ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

الحقل

${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})=\left\{a+b{\sqrt {2}}\mid a,b\in \mathbb {Q} \right\},}$

هو امتداد ل ${\displaystyle \mathbb {Q} }$، درجته هي اثنين لأن ${\displaystyle \left\{1,{\sqrt {2}}\right\}}$، يمكن أن تستعمل قاعدة لهذا الحقل.

الحقل

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {Q} \left({\sqrt {2}},{\sqrt {3}}\right)&=\mathbb {Q} \left({\sqrt {2}}\right)\left({\sqrt {3}}\right)\\&=\left\{a+b{\sqrt {3}}\mid a,b\in \mathbb {Q} \left({\sqrt {2}}\right)\right\}\\&=\left\{a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}}\mid a,b,c,d\in \mathbb {Q} \right\},\end{aligned}}}$

هو امتداد لكل من الحقلين ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$ و ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {3}})}$.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})&=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})\\&=\left\{a+b({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})+c({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})^{2}+d({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})^{3}\mid a,b,c,d\in \mathbb {Q} \right\}.\end{aligned}}}$

• نظرية الحقول,

• بوابة رياضيات
• بوابة جبر