متعددة الحدود

تترجم كلمة متعددة الحدود، إلى اللغة الإنجليزية على سبيل المثال، بكلمة Polynomial. وتتكون هذه الكلمة من جزئين هما Poly و nomial. فكلمة Poly أصلها من اللغة الإغريقية وتعني متعدد، وnomial أصلها من اللغة اللاتينية، وأول من أدخل هذا المصطلح المركب إلى اللغة اللاتينية هو فرانسوا فييت.

تكتب متعددة حدود بمتغير واحد كما يلي:

${\displaystyle {\mathcal {}}p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}}$

على سبيل المثال، الصيغة التالية تبين متعددة حدود.

${\displaystyle \underbrace {_{\,}3x^{2}} _{\begin{smallmatrix}\mathrm {term} \\\mathrm {1} \end{smallmatrix}}\underbrace {-_{\,}5x} _{\begin{smallmatrix}\mathrm {term} \\\mathrm {2} \end{smallmatrix}}\underbrace {+_{\,}4} _{\begin{smallmatrix}\mathrm {term} \\\mathrm {3} \end{smallmatrix}}.}$

لها ثلاثة حدود: الأول من الدرجة الثانية والثاني من الدرجة الأولى والثالث من الدرجة الصفر.

قانون التبادلية المطبق على عملية الجمع يمكن من كتابة هذه الحدود الثلاث في أي ترتيب كان.

كثيرة الحدود هي دالة رياضية أو تركيب جبري بسيط وأملس.

بسيط بمعنى إنه لا يحوي من عمليات سوى الضرب والجمع وأملس بمعنى أنه قابل للمفاضلة بلا حدود أي أنه يملك مشتقات من جميع الرتب في جميع النقاط.

متعددة الحدود من الدرجة ${\displaystyle {\mathcal {}}n}$ لها على الأكثر منها اصفار حقيقية ؛ ومعها يكون ${\displaystyle {\mathcal {}}n}$ الاس لأول الثابت الذي نطرياً يسمح اِختياره بالتعسف في كثيرة الحدود.

إيجاد جذور متعددة ما للحدود، أو ما قد يسمى حلحلة المعادلات الجبرية هو واحد من المعضلات الرياضية الأكثر قدما. ولكن الرموز البسيطة الاستعمال والأنيقة المستعملة حاليا لم تتطور إلا في القرن الخامس عشر. قبل ذلك، كانت المعادلات تُكتب بالكلمات.

معادلة حدودية وتسمى أيضا معادلة جبرية هي معادلة تأخذ الشكل التالي:

${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0.}$

على سبيل المثال،

${\displaystyle 3x^{2}+4x-5=0}$

هي معادلة حدودية.

في هذه المعادلة، قد يسمى المتغير ${\displaystyle x}$ مجهولا. أما القيم التي يأخذها المجهول لكي تصير المعادلة صحيحة فتسمى جذور المعادلة أو أصفارها، وواحدها الجذر والصفر. يقال عن عدد أن صفرٌ لمعادلة ما أو جذرها إذا كانت المعادلة صحيحة عندما يأخذ المجهول قيمة هذا العدد.

في إطار الجبر الابتدائية، هناك طرق تمكن من حلحلة المعادلات من الدرجتين الأولى والثانية بمتغير واحد، وهناك أيضا طرق تمكن من حلحلة المعادلات من الدرجة الثالثة والرابعة بمتغير واحد.

بالنسبة إلى معادلة حدودية من الدرجة الخامسة فما فوق، تمنع مبرهنة أبيل-روفيني من إمكانية ايجاد حلحلة عامة بالجذور، ولكن خوارزميات إيجاد جذور دالة تبقى قابلة للاستعمال من أجل ايجاد تقريبات عددية لحلول متعددة حدود أيا كانت درجتها.

عدد جذور معادلة حدودية معاملاتها أعداد حقيقية لا يتجاوز درجة هذه الدالة الحدودية ويساويها إذا أُخذت الحلول العقدية في عين الاعتبار. هذه الحقيقة تسمى المبرهنة الأساسية في الجبر. قد يأخذ جذران من هذه الجذور نفس القيمة. في هذه الحالة، يقال عنها أنها جذر مزدوج. وقد تأخذ ثلاثة جذور نفس القيمة، فيقال عنها أنها جذر ثلاثي، وهكذا.

• 
  متعددة حدود من الدرجة الثانية:
  f(x) = x² - x - 2 = (x+1)(x-2)
• 
  متعددة حدود من الدرجة الثالثة:
  f(x) = x³/4 + 3x²/4 - 3x/2 - 2 = 1/4 (x+4)(x+1)(x-2)
• 
  متعددة حدود من الدرجة الرابعة:
  f(x) = 1/14 (x+4)(x+1)(x-1)(x-3) + 0.5
• 
  متعددة حدود من الدرجة الخامسة:
  f(x) = 1/20 (x+4)(x+2)(x+1)(x-1)(x-3) + 2
• 
  متعددة حدود من الدرجة السادسة:
  f(x) = 1/30 (x+3.5)(x+2)(x+1)(x-1)(x-3)(x-4) + 2
• 
  متعددة حدود من الدرجة السابعة:
  f(x) = (x-3)(x-2)(x-1)(x)(x+1)(x+2)(x+3)

• لائحة المواضيع المتعلقة بمتعددات الحدود
• متسلسلة قوى
• مجموع

• بوابة رياضيات
• بوابة جبر